Escreva equações dos planos tangentes à superfície esférica que contenham os pontos e .
Passo 1
Vamos lá, no passo a passo. Pra começar, o de sempre … Escrever a equação da superfície esférica em sua forma reduzida:
Agora sabemos que o centro da esfera é e o raio é .
Vamos testar se os pontos e pertencem à esfera. Só precisamos substituir as coordenadas dos pontos na equação da esfera e ver se ela é satisfeita:
Passo 2
Então, na verdade o que temos é um feixe de planos. Para determinar esse feixe, precisamos de uma reta comum aos dois planos. Isso é possível de fazer a partir de e . Então, temos o vetor diretor
e, usando como ponto inicial, podemos escrever a equação paramétrica da reta:
Podemos notar que e
Com isso, conseguimos escrever a equação da reta de uma outra forma:
Podemos reunir essas duas equações através de dois parâmetros e , nos dando uma equação que descreve um feixe de plano que passa pela reta da seguinte forma:
Essa é justamente a equação de um plano com e . Como temos vários valores possíveis de então, na verdade, temos diversos planos em uma única equação.
Passo 3
Para encontrar os planos que queremos, temos que lembrar que eles são tangentes à superfície esférica. Então, a distância do centro da esfera até esses planos é igual ao raio . Vamos fazer essas continhas:
Agora, substituímos na equação do feixe de planos:
Resposta