Escreva equações dos planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 4 z + 8 = 0 que contenham os pontos A = ( 1,0 , - 3 ) e B = ( 1,2 , 1 ) .

Passo 1

Vamos lá, no passo a passo. Pra começar, o de sempre … Escrever a equação da superfície esférica em sua forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 4 z + 8 = 0

⇒ x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 - 2 y + 1 - 1 + z 2 - 4 z + 4 - 4 + 8 = 0

⇒ ( x - 2 ) 2 - 4 + ( y - 1 ) 2 - 1 + ( z - 2 ) 2 - 4 + 8 = 0

⇒ ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 1

Agora sabemos que o centro da esfera é C = ( 2,1 , 2 ) e o raio é r = 1 .

Vamos testar se os pontos A = ( 1,0 , - 3 ) e B = ( 1,2 , 1 ) pertencem à esfera. Só precisamos substituir as coordenadas dos pontos na equação da esfera e ver se ela é satisfeita:

A : ( 1 - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 3 - 2 ) 2 = 1 + 1 + 25 ≠ 1  

B :   ( 1 - 2 ) 2 + ( 2 - 1 ) 2 + ( 1 - 2 ) 2 = 1 + 1 + 1 ≠ 1

Passo 2

Então, na verdade o que temos é um feixe de planos. Para determinar esse feixe, precisamos de uma reta comum aos dois planos. Isso é possível de fazer a partir de A = ( 1,0 , - 3 ) e B = ( 1,2 , 1 ) . Então, temos o vetor diretor

A B → = B - A = ( 1,2 , 1 ) - ( 1,0 , - 3 ) = ( 0,2 , 4 )

e, usando A = ( 1,0 , - 3 ) como ponto inicial, podemos escrever a equação paramétrica da reta:

r : x = 1 ,   y = 2 t ,   z = - 3 + 4 t

Podemos notar que x - 1 = 0 e

2 y - z = 4 t + 3 - 4 t = 3 ⇒ 2 y - z - 3 = 0

Com isso, conseguimos escrever a equação da reta de uma outra forma:

x - 1 = 0  

2 y - z - 3 = 0

Podemos reunir essas duas equações através de dois parâmetros m e n , nos dando uma equação que descreve um feixe de plano que passa pela reta t da seguinte forma:

m ( x - 1 ) + n ( 2 y - z - 3 ) = 0

⇒ m x + 2   n y - n z - ( m + 3 n ) = 0

Essa é justamente a equação de um plano com a = m ,   b = 2 n ,   c = - n e d = - ( m + 3 n ) . Como temos vários valores possíveis de m , n então, na verdade, temos diversos planos em uma única equação.

Passo 3

Para encontrar os planos que queremos, temos que lembrar que eles são tangentes à superfície esférica. Então, a distância do centro da esfera C = ( 2,1 , 2 ) até esses planos é igual ao raio r = 1 . Vamos fazer essas continhas:

d ( C ,   π )   =   | a ⋅ x 0   +   b ⋅ y 0   +   c ⋅ z 0   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2  

⇒ 1   =   | m ⋅ 2   +   2 n ⋅ 1   -   n ⋅ 2   - m   - 3 n | m 2   +   4 n 2   +   n 2  

⇒ 1   =   | m   - 3 n | m 2   +   5   n 2  

⇒ | m - 3 n | = m 2 + 5 n 2  

⇒ ( m - 3 n ) 2 = m 2 + 5 n 2

⇒ - 6 n m + 4 n 2 = 0

⇒ n ( 2 n - 3 m ) = 0

⇒ n = 0   o u   n = 3 2 m

Agora, substituímos n = 0 ,   n = 3 2 m na equação do feixe de planos:

n = 0 : m x + 2   n y - n z - ( m + 3 n ) = 0

⇒ m x - m = 0

π : x - 1 = 0

n = 3 2 m : m x + 3 m y - 3 2 m z - ( m + 9 2 m ) = 0

⇒ x + 3 y - 3 2 z - 11 2 = 0

α : 2 x + 6 y - 3 z - 11 = 0

Resposta

x - 1 = 0

2 x + 6 y - 3 z - 11 = 0