Escreva equações dos planos tangentes à superfície esférica

S :   ( x + 1 ) 2 + y 2 + ( z + 1 ) 2 = 9 e que passam pela reta

t :   ( x , y , z ) = ( 2,3 , - 4 ) + λ ( 2 , - 2,0 ) .

Passo 1

Bom, nessa questão o livro foi generoso e nos deu a equação da superfície esférica em sua forma reduzida e a equação da reta em sua forma parametrizada. Dessas informações temos:

t =   ( 2 + 2 λ , 3 - 2 λ , - 4 ) ,

que nos fornecem o seguinte vetor diretor: v t → =   ( 2 , - 2,0 ) e com

S :   ( x + 1 ) 2 + y 2 + ( z + 1 ) 2 = 9 ,

vemos que o centro é C = ( - 1,0 , - 1 ) e o raio r = 3 .

Agora precisamos achar para quais valores de λ há a interseção da reta com a superfície esférica. Vamos lá, basta substituir as coordenadas da reta na equação da esfera:

( 2 + 2 λ + 1 ) 2 + ( 3 - 2 λ ) 2 + ( - 4 + 1 ) 2 = 9

⇒ ( 3 + 2 λ ) 2 + 9 - 12 λ + 4 λ 2 + ( - 3 ) 2 - 9 = 0

⇒ 9 + 12 λ + 4 λ 2 + 9 - 12 λ + 4 λ 2 + 9 - 9 = 0

⇒ 8 λ 2 + 18 = 0

Ops! A reta não intercepta a superfície esférica. Então, na verdade temos dois planos que se interceptam justamente na reta S .

Passo 2

Temos um feixe de planos. Nesse caso, precisamos reescrever a equação da reta na forma:

x + y = 2 + 2 λ + 3 - 2 λ = 5

⇒ x + y - 5 = 0

z = - 4 ⇒ z + 4 = 0

Você já deve ter notado que x + y - 5 = 0 e z + 4 = 0 parecem equações de planos, não é? Isso porque nós podemos fazer uma combinação linear dessas duas equações para obter a equação de um feixe de planos:

m ( x + y - 5 ) + n ( z + 4 ) = 0

⇒ m x + m y + n z + ( 4 n - 5 m ) = 0

Então, não é a toa que essa equação representa a equação de um plano com a = b = m ,   c = n e d = 4 n - 5 m . Precisamos apenas de algum vínculo para buscarmos m e n que nos dê os planos desejados.

Podemos utilizar que a distância entre o centro C = ( - 1,0 , - 1 ) da superfície esférica e os planos desejados será a mesma e igual ao raio da esfera. Daí,

r = d ( C ,   π )   =   | a ⋅ x 0   +   b ⋅ y 0   +   c ⋅ z 0   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2

⇒ 3   =   | m ⋅ ( - 1 )   +   m ⋅ 0   +   n ⋅ ( - 1 )   +   4 n - 5 m | m 2   +   m 2   +   n 2  

⇒ 3   =   | 3 n   -   6 m | 2 m 2   +   n 2   ⇒ | 3 n - 6 m | = 3 2 m 2 + n 2

⇒ ( 3 n - 6 m ) 2 = 9 ( 2 m 2 + n 2 )

⇒ 9 n 2 - 36 m n + 36 m 2 = 18 m 2 + 9 n 2

⇒ 18 m 2 - 36 m n = 0

⇒ m 2 - 2 m n = 0

⇒ m ( m - 2 n ) = 0

⇒ m = 0 ,   m = 2 n

Passo 3

Vamos substituir as soluções m = 0 ,   m = 2 n na equação do feixe de planos para ver o que obtemos:

m = 0 : m x + m y + n z + ( 4 n - 5 m ) = 0

⇒ n z + 4 n = 0

π : z + 4 = 0

e

m = 2 n : m x + m y + n z + ( 4 n - 5 m ) = 0

⇒ 2 n x + 2 n y + n z + 4 n - 10 n = 0

⇒ 2 n x + 2 n y + n z - 6 n = 0

α : 2 x + 2 y + z - 6 = 0

Resposta

z + 4 = 0

2 x + 2 y + z - 6 = 0