Escreva equações dos planos tangentes à superfície esférica
e que passam pela reta
.
Passo 1
Bom, nessa questão o livro foi generoso e nos deu a equação da superfície esférica em sua forma reduzida e a equação da reta em sua forma parametrizada. Dessas informações temos:
,
que nos fornecem o seguinte vetor diretor: e com
,
vemos que o centro é e o raio .
Agora precisamos achar para quais valores de há a interseção da reta com a superfície esférica. Vamos lá, basta substituir as coordenadas da reta na equação da esfera:
Ops! A reta não intercepta a superfície esférica. Então, na verdade temos dois planos que se interceptam justamente na reta .
Passo 2
Temos um feixe de planos. Nesse caso, precisamos reescrever a equação da reta na forma:
Você já deve ter notado que e parecem equações de planos, não é? Isso porque nós podemos fazer uma combinação linear dessas duas equações para obter a equação de um feixe de planos:
Então, não é a toa que essa equação representa a equação de um plano com e . Precisamos apenas de algum vínculo para buscarmos e que nos dê os planos desejados.
Podemos utilizar que a distância entre o centro da superfície esférica e os planos desejados será a mesma e igual ao raio da esfera. Daí,
Passo 3
Vamos substituir as soluções na equação do feixe de planos para ver o que obtemos:
e