Escreva equações da reta S paralela ao plano x O y e tangente à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 24 x + 3 y + 4 z + 4 = 0 no ponto ( 0,0 , - 2 ) .

Passo 1

Fala, pessoal! Preparados? Então vamos lá!

Vamos começar tentando entender o que é o plano x O y . O plano x y é formado por todos os valores possíveis de x , y com z = 0 . O plano x O y é uma subdivisão disso, onde vamos considerar apenas os valores positivos de x ≥ 0 , y ≥ 0 e z = 0 . Se a reta S é paralela a esse plano, então o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Temos o vetor diretor dado por v → = ( a , b , c ) enquanto o vetor normal do plano é n → = ( 0,0 , 1 ) . Assim, a condição de perpendicularidade nos dá

v → ⋅ n → = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) = 0 ⇒ c = 0

Beleza, então temos v → = ( a , b , 0 ) .

Passo 2

A questão nos diz que a reta é tangente à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 24 x + 3 y + 4 z + 4 = 0 no ponto ( 0,0 , - 2 ) . Então, sendo ( 0,0 , - 2 ) um ponto da reta, podemos escrever as equações paramétricas como

S : x = a t ,   y = b t ,   z = - 2

Para descobrir qual o valor de t em que essa interseção ocorre, vamos substituir as coordenadas acima na equação da superfície esférica. Mas antes, vamos reescrevê-la na sua forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 - 24 x + 3 y + 4 z + 4 = 0

⇒ x 2 - 24 x + y 2 + 3 y + z 2 + 4 z + 4 = 0

⇒ x 2 - 24 x + 144 - 144 + y 2 + 3 y + 9 4 - 9 4 + z 2 + 4 z + 4 = 0 ⇒ ( x - 12 ) 2 + ( y + 3 2 ) 2 + ( z + 2 ) 2 - 144 - 9 4 = 0

⇒ ( x - 12 ) 2 + ( y + 3 2 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 585 4

Assim, vemos que o centro da esfera se situa em C = ( 12 , - 3 2 , - 2 ) .

Passo 3

Como a reta intercepta a esfera no ponto P = ( 0,0 , - 2 ) , o vetor que sai desse ponto até o centro C = ( 12 , - 3 2 , - 2 ) deve ser ortogonal ao vetor diretor da reta. Vamos obter esse vetor

P C → = C - P = ( 12 , - 3 2 , - 2 ) - ( 0,0 , - 2 ) = ( 12 , - 3 2 , 0 )

Ok, agora vamos usar a condição de ortogonalidade

v → ⋅ P C → = 0 ⇒ ( a , b , 0 ) ⋅ ( 12 , - 3 2 , 0 ) = 0 ⇒ 12 a - 3 2 b = 0 ⇒ b = 8 a

Então, v → = ( a , 8 a , 0 ) = a ( 1,8 , 0 ) . Mas, para deixar a nossa resposta mais simples, podemos usar apenas ( 1,8 , 0 ) como vetor diretor. Então, as equações paramétricas da reta se tornam

x = t ,   y = 8 t , z = - 2 .

Qual a sua próxima dúvida? Responde Aí!

Resposta

x = t ,   y = 8 t , z = - 2