Escreva equações da reta paralela ao plano e tangente à superfície esférica no ponto .
Passo 1
Fala, pessoal! Preparados? Então vamos lá!
Vamos começar tentando entender o que é o plano . O plano é formado por todos os valores possíveis de com . O plano é uma subdivisão disso, onde vamos considerar apenas os valores positivos de e . Se a reta é paralela a esse plano, então o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Temos o vetor diretor dado por enquanto o vetor normal do plano é . Assim, a condição de perpendicularidade nos dá
Beleza, então temos .
Passo 2
A questão nos diz que a reta é tangente à superfície esférica no ponto . Então, sendo um ponto da reta, podemos escrever as equações paramétricas como
Para descobrir qual o valor de em que essa interseção ocorre, vamos substituir as coordenadas acima na equação da superfície esférica. Mas antes, vamos reescrevê-la na sua forma reduzida:
Assim, vemos que o centro da esfera se situa em .
Passo 3
Como a reta intercepta a esfera no ponto , o vetor que sai desse ponto até o centro deve ser ortogonal ao vetor diretor da reta. Vamos obter esse vetor
Ok, agora vamos usar a condição de ortogonalidade
Então, . Mas, para deixar a nossa resposta mais simples, podemos usar apenas como vetor diretor. Então, as equações paramétricas da reta se tornam
.
Qual a sua próxima dúvida? Responde Aí!