Escreva equações da reta r que passa por A   =   ( 1,0 , 1 ) , é paralela ao plano x - y + 2 z - 3 = 0 e é concorrente com a reta x - 7 2 = y - 2 - 2 = z - 2 1 .

Passo 1

Pessoal, como a reta r passa por A   =   ( 1,0 , 1 ) , então só precisamos descobrir quem é o vetor diretor dessa reta, que vamos chamar de v → = ( a , b , c ) . A reta é paralela ao plano x - y + 2 z - 3 = 0 , o que significa que o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. Como o vetor normal do plano é n → = ( 1 , - 1,2 ) , então

v → ⋅ n → = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 1 , - 1,2 ) = 0 ⇒ a - b + 2 c = 0

Vamos reservar essa equação por ora.

Passo 2

A reta r é concorrente com a reta x - 7 2 = y - 2 - 2 = z - 2 1 , que nós vamos escrever na forma parametrizada:

s : x - 7 2 = y - 2 - 2 = z - 2 1 = t ⇒ x = 2 t + 7 ,   y = - 2 t + 2 ,   z = t + 2

Hum, o que fazer agora? Temos uma carta na manga. Na verdade, se você prestar bem atenção, o ponto A   =   ( 1,0 , 1 ) pertence ao plano x - y + 2 z - 3 = 0 . Olha só:

x - y + 2 z - 3 = 0 ⇒ 1 - 0 + 2 - 3 = 0

Passo 3

Perfeito! Agora sabemos que a reta está contida no plano. Então, para a achar o ponto de interseção da reta s com a reta r , basta achar a interseção da reta s com o plano. Para conseguir fazer isso, só precisamos substituir as coordenadas da reta s na equação do plano:

x - y + 2 z - 3 = 0 ⇒ 2 t + 7 + 2 t - 2 + 2 t + 4 - 3 = 0

⇒ 6 t + 6 = 0 ⇒ t = - 1

Então, temos o ponto

x = 2 t + 7 = 5 ,   y = - 2 t + 2 = 4 ,   z = t + 2 = 1 ⇒ Q = ( 5,4 , 1 )

Com isso, temos o seguinte vetor

P Q → = Q - P = ( 5,4 , 1 ) - ( 1,0 , 1 ) = ( 4,4 , 0 )

que nos dá a direção da reta. Mas, por simplicidade, podemos usar ( 1,1 , 0 ) como vetor diretor. Usando este vetor diretor e o ponto P = ( 1,0 , 1 ) como vetor inicial, encontramos a equação da reta que queremos

x = 1 + t ,   y = t ,   z = 1 .

Resposta

x = 1 + t ,   y = t ,   z = 1 .