Escreva como uma expressão algébrica em x para x > 0 .

t g (a r c c o s (x))

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com funções trigonométricas inversas e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão de suas propriedades e relembrar a tabela de ângulos notáveis.

— 1° Propriedade (Definição 8.1 e 8.2)

A função inversa do seno, denotada por “ a r c s e n ”, define-se como

y = a r c s e n (x) s e e s o m e n t e s e x = s e n ( y )

Para - 1 <= x <= 1 e, - (pi)/(2) <= y <= (pi)/(2) . Em outras palavras,

(i) s e n (a r c s e n (x)) = x ; s e - 1 <= x <= 1

(i i) a r c s e n (s e n (x)) = x ; s e - (pi)/(2) <= x <= (pi)/(2)

— 2° Propriedade (Definição 8.3 e 8.4)

A função inversa do cosseno, denotada por “ a r c c o s ”, define-se como

y = a r c c o s (x) s e e s o m e n t e s e x = c o s ( y )

Para - 1 <= x <= 1 e, - pi <= y <= pi . Em outras palavras,

(i) c o s (a r c c o s (x)) = x ; s e - 1 <= x <= 1

(i i) a r c c o s (c o s (x)) = x ; s e 0 <= x <= pi

— 3° Propriedade (Definição 8.5 e 8.6)

A função inversa da tangente, ou função arco tangente, denotada por “ a r c t g ”, define-se como

y = a r c t g (x) s e e s o m e n t e s e x = t g ( y )

Para todo x e - (pi)/(2) <= y <= (pi)/(2) . Em outras palavras,

(i) t g (a r c t g (x)) = x ; p a r a t o d o x

(i i) a r c t g (t g (x)) = x ; s e - (pi)/(2) <= x <= (pi)/(2)

— 4° Propriedade (Definição 8.7)

A função arco secante denotada por “ a r c s e c ” (ou “ s e c^(- 1) ”), define-se como

y = a r c s e c (x) s e e s o m e n t e s e x = s e c ( y )

Para todo |x| >= 1 e y em [0 , (pi)/(2)) ou em [pi , (3 pi)/(2)) .

Observe que estas funções estão limitadas a diferentes intervalos, logo valores que não pertencem a estes intervalos respeitam as propriedades de arcos côngruos e a paridade das funções.

Em seguida, temos a tabela de ângulos notáveis como conhecemos no ensino médio.

A imagem abaixo mostra os valores dos ângulos da tabela correspondentes nos demais quadrantes.

Passo 2

Compreendendo as propriedades das funções trigonométricas inversas, vamos resolver a questão. Analisando a função dada pelo enunciado, podemos admitir que

theta = a r c c o s (x) harr cos (theta) = x = (x)/(1)

A figura abaixo ilustra a correlação entre eles

Passo 3

Para encontrar o valor do cateto oposto, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras

1^2 = x^2 + a^2

a^2 = 1 - x^2

a = sqrt(1 - x^2)

Agora, reconstruindo a imagem,

Passo 4

Voltando a equação inicial, temos que encontrar o valor da tangente que é

t g (theta) = (c a t e t o o p o s t o)/(c a t e t o a d j a c e n t e) = (a)/(x) = (sqrt(1 - x^2))/(x)

Portanto,

t g (a r c c o s (x)) = (sqrt(1 - x^2))/(x)

Até a próxima =]

Resposta

(sqrt(1 - x^2))/(x)