Escreva na forma paramétrica a equação da reta r , dada por

x   + y - z + 2   =   0

    r   ⎨ x - y + 3 z - 4 = 0       .

Passo 1

Fala, galerinha! Essa reta, na verdade, é a interseção entre dois planos. Para determiná-la, precisamos de um ponto e um vetor que pertençam a ambos os planos. Vamos chutar que um ponto com z = 0 pertence aos planos. Assim, temos

x   + y + 2   =   0 ⇒ x = - 2 - y

x - y - 4 = 0

Vamos substituir x = - 2 - y na segunda equação:

x - y - 4 = 0 ⇒ - 2 - y - y - 4 = 0

⇒ 2 y + 6 = 0 ⇒ y = - 3

Então, x = - 2 - y = - 2 + 3 = 1 e agora temos um ponto que pertence aos dois planos: P = ( 1 , - 3,0 ) .

Passo 2

O vetor diretor da reta é paralelos aos dois planos, ou seja, é perpendicular aos vetores normais dos planos, que são n → = ( 1,1 , - 1 ) e m → = ( 1 , - 1,3 ) . Para obter um vetor perpendicular a esses dois vetores, vamos calcular o produto vetorial deles:

⎜   i →                         j →                       k →       ⎜

⎜ 1                       1         - 1       ⎜ = ( 3 - 1 )   i →   - ( 3 + 1 )   j → + ( - 1 - 1 ) k → = ( 2 , - 4 , - 2 ) = - 2 ( - 1,2 , 1 )

⎜ 1         - 1                       3       ⎜

Assim, podemos escolher v → = ( - 1,2 , 1 ) como vetor diretor da reta. Por fim, ficamos com as seguintes equações paramétricas:

x = 1 - m ,   y = - 3 + 2   m ,   z = m

Resposta

x = 1 - m ,   y = - 3 + 2   m ,   z = m