a) Se o espaço gerado por u é igual ao espaço gerado por v , então necessariamente ___________ ( u = v , u é múltiplo de v , u é perpendicular a v , nenhuma das alternativas)

b) Se < u ,   v >   =   < u ,   w > , então necessariamente ________ ( v = w ,   v é múltiplo de w , v é perpendicular a w , nenhuma das alternativas).

c) Sabendo que o conjunto { w } é LI podemos afirmar que w é ___________ (nulo, não nulo).

Passo 1

Bora pra mais um, galera!!!

a) Seja V =   < u >   =   < v > o nosso espaço vetorial. Consideramos agora v 1 ∈ V , v 1 ≠ 0 , temos que existem reais não nulos s e t tais que:

v 1 = s u

v 1 = t v

De forma que s u = t v , e assim, u = t s v . Sendo assim, podemos completar esse item da seguinte maneira:

Se o espaço gerado por u é igual ao espaço gerado por v , então necessariamente u é múltiplo de v ( u = v , u é múltiplo de v , u é perpendicular a v , nenhuma das alternativas)

b) Seja V =   < u , v >   =   < u ,   w > o nosso espaço vetorial. Sejam x 1 e y 1 reais, com y 1 ≠ 0 , temos que v 1 = x 1 u + y 1 v ∈   V . Sendo assim, devem existir reais x 2 e y 2 tais que v 1 = x 2 u + y 2 w . Disso, concluímos que x 1 u + y 1 v = x 2 u + y 2 w ⇔ y 1 v = x 2 - x 1 u + y 2 w ⇔ v = x 2 - x 1 y 1 u + y 2 y 1 w . Ou seja, o fato de termos < u ,   v >   =   < u ,   w > implica apenas que v é uma combinação linear de u e w , e não que v = w , ou v é múltiplo de w , ou v é perpendicular a w . Portanto, podemos completar esse item da seguinte maneira:

Se < u ,   v >   =   < u ,   w > , então necessariamente nenhuma das alternativas ( v = w ,   v é múltiplo de w , v é perpendicular a w , nenhuma das alternativas).

c) Como t 0 = 0 para todo real t , segue que o conjunto { 0 } é linearmente dependente. Sendo assim, podemos completar esse item da seguinte maneira.

Sabendo que o conjunto { w } é LI podemos afirmar que w é não nulo (nulo, não nulo).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)