Estabeleça uma integral que possa ser usada para determinar a área da região sombreada.

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com integração definida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

Se f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x em [ a , b ] , então a área A da região delimitada pelos gráficos de f , g , x = a e x = b é

A = ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

A fronteira superior é a função da curva de cima e a fronteira inferior é a função da curva debaixo. Esta fórmula também é válida para números negativos.

Passo 2

O objetivo da questão é encontrar a integral definida da área sombreada. Primeiro passo é identificar as funções que representam as fronteiras superior e a inferior e os pontos do intervalo [ a , b ] . Apesar de termos 3 funções formando um triângulo, ainda é possível identificar os itens abaixo

  1. Fronteira superior → x + y = 6   ↔ y = 6 - x
  2. Fronteira inferior → x
  3. Ponto → a = 1
  4. Ponto → b = 4

Agora vamos substituí-los na fórmula da área

A = ∫ 1 4 [ 6 - x - ( x ) ] d x

Até a próxima! =]

Resposta

∫ 1 4 6 - x - x   d x