Estabeleça uma integral que possa ser usada para determinar a área da região sombreada.

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com integração definida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

Se f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x em [ a , b ] , então a área A da região delimitada pelos gráficos de f , g , x = a e x = b é

A = ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

A fronteira superior é a função da curva de cima e a fronteira inferior é a função da curva debaixo. Esta fórmula também é válida para números negativos.

Passo 2

O objetivo da questão é encontrar a integral definida da área sombreada. Observe que o gráfico está em função de y , girado para a esquerda, logo vamos encontrar o intervalo da integral definida em função de y . Observe que da perspectiva do eixo Y a função superior é a que está à direita e a inferior é a que está à esquerda. Primeiro passo é identificar as funções que representam as fronteiras superior e a inferior e os pontos do intervalo [ a , b ] .

  1. Fronteira superior → x - y = 2   ↔ x = y + 2
  2. Fronteira inferior → y 2 3
  3. Ponto → a = - 1
  4. Ponto → b = 8

Agora vamos substituí-los na fórmula da área

A = ∫ - 1 8 [ y + 2 - ( y 2 3 ) ] d y

Até a próxima! =]

Resposta

∫ - 1 8 y + 2 - y 2 3 d y