Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.

8 + x 3   ( S u g e s t ã o :   C o n s i d e r e   2 1 + 1 8 x 3 )

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

O enunciado sugere que simplifiquemos a função para o formato dado, isso é equivalente à tirar o 8 em evidência e notar que 2 3 = 8 , tendo este formato é conveniente trabalharmos com uma expansão da forma

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Temos então que:

( 1 + x ' ) 1 / 3 = 1   + 1 3 x ' + 1 / 3 ( 1 / 3 - 1 ) 2 x ' 2 + . . . + 1 / 3 ( 1 / 3 - 1 ) . . . ( 1 / 3 - n + 1 ) n ! x ' n + . . . =

= 1   + 1 3 x ' - 1 9 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 1 ( - 2 ) . . . ( 4 - 3 n ) 3 n n ! x ' n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x’| x ' = 1 8 x , portanto:

2 ( 1 + 1 8 x ) = 2   + 1 12 x - 1 288 x 2 + . . . + 2 ∑ n = 3 ∞ ( - 2 ) . . . ( 4 - 3 n ) 24 n n ! x n

Que é a resposta que desejamos! No entanto, note que temos um raio de convergência dado por | x ' | < 1 → | 1 8 x | < 1 →   | x | < 8 . Agora sim, temos a resposta da nossa questão, até a próxima!

Resposta

Ao longo do passo 1.