Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.

  1. 1 + x

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

Esta questão se trata de representar a função acima através de uma série de potências, em especial temos que neste exercício é conveniente utilizar o seguinte formato:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Ou seja, temos que:

1 + x = ( 1 + x ) 1 / 2 = 1   +   x 2 + 1 / 2 ( 1 / 2 - 1 ) 2 x 2 + . . . + 1 / 2 ( 1 / 2 - 1 ) . . . ( 1 / 2 - n + 1 ) n ! x n + . . . =

= 1   +   x 2 - 1 8 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 1 ( 1 - 2 ) . . . ( 1 - 2 n + 2 ) ) 2 n n ! x n + . . . =

Nesta passagem perceba que eu tirei n termos de ½ que estavam multiplicando no numerador, por isso temos o termo de 2 n no denominador, para todo n par, por exemplo n=4, n=6, etc, temos um número ímpar de sinais negativos no denominador, portanto, podemos resumir o escrito acima como:

= 1   +   x 2 - 1 8 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n - 1 1 | - 1 | | - 3 | | - 5 | . . . | ( 3 - 2 n ) | 2 n n ! x n =

= 1   +   x 2 - 1 8 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n - 1 1 × 3 × 5 . . . ( 2 n - 3 ) 2 n n ! x n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x|

Resposta

Ao longo do passo 1.