Enunciado

Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.

( 1 - x ) 3 / 5

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

Esta questão se trata de representar a função acima através de uma série de potências, em especial temos que neste exercício é conveniente utilizar o seguinte formato:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Convenientemente, vamos escrever a seguinte expansão com k = 3 / 5 , temos:

( 1 + x ' ) 3 / 5 = 1   +   3 x ' 5 + 3 / 5 ( 3 / 5 - 1 ) 2 x ' 2 + . . . + 3 / 5 ( 3 / 5 - 1 ) . . . ( 3 / 5 - n + 1 ) n ! x ' n + . . . =

= 1   +   3 x ' 5 - 3 25 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 3 ( - 2 ) . . . ( 8 - 5 n ) 5 n n ! x ' n

No entanto, para obtermos o que queremos no enunciado precisamos apenas substituir x ' = - x , tendo então:

( 1 - x ) 3 / 5 = 1   -   3 x 5 + 3 25 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 3 ( - 2 ) . . . ( 8 - 5 n ) 5 n n ! ( - x ) n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x|

Resposta

Ao longo do passo 1.