Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.

( 1 - x ) 2 / 3

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

Esta questão se trata de representar a função acima através de uma série de potências, em especial temos que neste exercício é conveniente utilizar o seguinte formato:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Convenientemente, vamos escrever a seguinte expansão com k = 2 / 3 , temos:

( 1 + x ' ) 2 / 3 = 1   +   2 x ' 3 + 2 / 3 ( 2 / 3 - 1 ) 2 x ' 2 + . . . + 2 / 3 ( 2 / 3 - 1 ) . . . ( 2 / 3 - n + 1 ) n ! x ' n + . . . =

= 1   +   2 x ' 3 - 1 9 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 2 ( - 1 ) . . . ( 5 - 3 n ) 3 n n ! x ' n

No entanto, para obtermos o que queremos no enunciado precisamos apenas substituir x ' = - x , tendo então:

( 1 - x ) 2 / 3 = 1   -   2 x 3 + 1 9 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 2 ( - 1 ) . . . ( 5 - 3 n ) 3 n n ! ( - x ) n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x|

Resposta

Ao longo do passo 1.