Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.

x ( 1 + 2 x ) - 2

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

Nesta questão, temos o produto de duas funções que determinam a nossa função desejada, no entanto é possível construir nossa expansão de uma maneira mais simples do que aplicar a expansão em série de Taylor/Maclaurin explícitamente. Vamos primeiro utilizar que:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Temos então que:

( 1 + x ' ) - 2 = 1   -   2 x ' + - 2 ( - 2 - 1 ) 2 x ' 2 + . . . + - 2 ( - 2 - 1 ) . . . ( - 2 - n + 1 ) n ! x ' n + . . . =

= 1   - 2 x ' + 3 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ - 2 ( - 3 ) . . . ( - 1 - n ) n ! x ' n

Quando temos n ímpar temos um número ímpar de números negativos no numerador, também é interessante notar que se continuarmos expandindo a somatória, como k é negativo, temos que:

∑ n = 3 ∞ - 2 ( - 3 ) . . . ( - 1 - n ) n ! x ' n = ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 ) 3 × 2 × 1 + ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 ) ( - 5 ) 4 × 3 × 2 × 1 + . . .

Note, que em todos os termos, o único que não irá cortar é o último, termo equivalente à - ( n + 1 ) , o restante irá cortar com o n ! no denominador, sendo assim, temos:

( 1 + x ' ) - 2 = 1   - 2 x ' + 3 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n ( n + 1 ) ( x ' ) n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x’| x ( 1 + 2 x ) - 2 , no entanto é possível obter a expansão desejada apenas escrevendo:

x ( 1 + 2 x ) - 2 = x   - 8 x 2 + 12 x 3 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 2 n ( n + 1 ) ( x ) n + 1

Que é a resposta que desejamos! No entanto, note que como | x ' | < 1 → | 2 x | < 1 → | x | < 1 / 2 é o nosso raio de convergência. Até a próxima! Tchauzinho!!

Resposta

Ao longo do passo 1.