Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.
Passo 1
Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?
Nesta questão, temos o produto de duas funções que determinam a nossa função desejada, no entanto é possível construir nossa expansão de uma maneira mais simples do que aplicar a expansão em série de Taylor/Maclaurin explícitamente. Vamos primeiro utilizar que:
Que é a aplicação da série binomial para um valor de real. Temos então que:
Quando temos ímpar temos um número ímpar de números negativos no numerador, também é interessante notar que se continuarmos expandindo a somatória, como k é negativo, temos que:
Note, que em todos os termos, o único que não irá cortar é o último, termo equivalente à , o restante irá cortar com o no denominador, sendo assim, temos:
A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x’|
Que é a resposta que desejamos! No entanto, note que como é o nosso raio de convergência. Até a próxima! Tchauzinho!!
Resposta
Ao longo do passo 1.