Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.

( 4 + x ) 3 / 2

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

Para facilitar nossa vida vamos tirar este 4 em evidência, da seguinte forma:

( 4 + x ) 3 / 2 = ( 4 ) 3 / 2 ( 1 + 1 4 x ) 3 / 2 = 8 ( 1 + 1 4 x ) 3 / 2

Agora, podemos usar a seguinte expansão:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Temos então que:

( 1 + x ' ) 3 / 2 = 1   + 3 2 x ' + 3 / 2 ( 3 / 2 - 1 ) 2 x ' 2 + . . . + 3 / 2 ( 3 / 2 - 1 ) . . . ( 3 / 2 - n + 1 ) n ! x ' n + . . . =

= 1   + 3 2 x ' + 3 8 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 3 ( 2 ) . . . ( 5 - 3 n ) 2 n n ! x ' n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x’| x ' = 1 4 x , portanto:

8 ( 1 + 1 4 x ) = 8   + 3 x + 3 16 x 2 + . . . + 8 ∑ n = 3 ∞ 3 ( 2 ) . . . ( 5 - 3 n ) 8 n n ! x n

Que é a resposta que desejamos! No entanto, note que temos um raio de convergência dado por | x ' | < 1 → | 1 4 x | < 1 →   | x | < 4 . Agora sim, temos a resposta da nossa questão, até a próxima!

Resposta

Ao longo do passo 1.