Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.

( 1 + x ) 1 / 4

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

Esta questão se trata de representar a função acima através de uma série de potências, em especial temos que neste exercício é conveniente utilizar o seguinte formato:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Ou seja, temos que:

( 1 + x ) 1 / 4 = 1   +   x 4 + 1 / 4 ( 1 / 4 - 1 ) 2 x 2 + . . . + 1 / 4 ( 1 / 4 - 1 ) . . . ( 1 / 4 - n + 1 ) n ! x n + . . . =

= 1   +   x 4 - 3 32 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 1 ( - 3 ) . . . ( 4 - 4 n ) 4 n n ! x n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x|

Resposta

Ao longo do passo 1.