Estabeleça uma representação da expressão em série de potências, e indique o raio de convergência.

a) 1 1 + x 3

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

Esta questão se trata de representar a função acima através de uma série de potências, em especial temos que neste exercício é conveniente utilizar o seguinte formato:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Ou seja, temos que:

1 1 + x 3 = ( 1 + x ) - 1 / 3 = 1   -   x 3 - 1 / 3 ( - 1 / 3 - 1 ) 2 x 2 + . . . + - 1 / 3 ( - 1 / 3 - 1 ) . . . ( - 1 / 3 - n + 1 ) n ! x n + . . . =

= 1   -   x 3 + 4 18 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ - 1 ( - 1 - 3 ) . . . ( - 1 - 3 n + 3 ) ) 3 n n ! x n + . . . =

Nesta passagem perceba que eu tirei n termos de ⅓ que estavam multiplicando no numerador, por isso temos o termo de 3 n no denominador, para todo n ímpar, por exemplo n=3, n=5, etc, temos um número ímpar de sinais negativos no denominador, portanto, podemos resumir o escrito acima como:

= 1   -   x 3 + 4 18 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n | - 1 | | - 4 | . . . ( 2 - 3 n ) 3 n n ! x n + . . . =

Posso inverter o sinal no último termo e ganhar assim um sinal global nesta expressão:

= 1   -   x 3 + 4 18 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 1 × 4 . . . ( 3 n - 2 ) 3 n n ! x n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x|

Resposta

Ao longo do passo 1.