Estabeleça uma representação em séries de e 2 x em potênciais de x + 1 .

Passo 1

Falaaa, como vai?? Primeiro passo para encontrarmos a série de potência é derivarmos a função que o enunciado nos deu, assim vamos descobrir o padrão que a sequência segue.

Após isso, basta aplicarmos esse padrão em uma série e acharmos a forma final. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos deu é:

f x = e 2 x

Derivando.

f ' x = 2 e 2 x

f ' ' x = 2 2 e 2 x

f ' ' ' x = 2 3 e 2 x

Sendo assim, podemos concluir que a nossa função tem o seguinte padrão.

f n x = 2 n e 2 x

Pelo enunciado c = - 1 . Então:

f n - 1 = 2 n e - 2

Colocando em uma série.

e - 2 + 2 e - 2 x + 1 + 2 2 e - 2 2 ! x + 1 2 + 2 3 e - 2 3 ! x + 1 3 + …

Logo, podemos concluir a seguinte série:

∑ n = 0 ∞ 2 n e 2 n ! x + 1 n

Resposta

∑ n = 0 ∞ 2 n e 2 n ! x + 1 n