1. Estude a posição relativa da reta a : x - 3 2 = y - 1 - 1 = z - 2 1 e o plano π : x + 2 y - 2 z + 3 = 0 .
  2. Se paralelos, determine a distância entre eles, caso contrário, determine o ponto de interseção.
  3. Determine equações da reta a ' , projeção ortogonal de a sobre π .

Passo 1

Fala, galera! Que tal resolver mais uma questão? Vamos lá!

  1. Para estudar a posição relativa da reta e do plano, precisamos primeiro do vetor diretor da reta e do vetor normal do plano. O segundo é fácil, só precisamos analisar a equação do plano: n → = ( 1,2 , - 2 ) . Para o vetor diretor da reta, precisamos das equações paramétricas:
  2. a : x - 3 2 = y - 1 - 1 = z - 2 1 = t

    ⇒ a { x = 2 t + 3 ,   y = - t + 1 ,   z = t + 2

    Então, o vetor diretor da reta é v → = ( 2 , - 1,1 ) . Para saber se ela é paralela ao plano, podemos testar se o vetor diretor é perpendicular ao vetor normal do plano:

    v → ⋅ n → = ( 2 , - 1,1 ) ⋅ ( 1,2 , - 2 ) = 2 - 2 - 2 ⇒ - 2 ≠ 0

    Então, a reta não é paralela. Eles devem ser concorrentes, ou seja, se encontram em um determinado ponto.

    Passo 2

  3. Neste item, vamos encontrar o ponto de interseção da reta com o plano. Para isso, só precisamos usar as coordenadas da reta na equação do plano e encontrar o parâmetro m que satisfaz à equação do plano:
  4. x + 2 y - 2 z + 3 = 0 ⇒ π : 2 t + 3 + 2 ⋅ ( - t + 1 ) - 2 ⋅ ( t + 2 ) + 3 = 0

    ⇒ π : 3 + 2 - 2 t - 4 + 3 = 0

    ⇒ - 2 t + 4 = 0

    ⇒ t = 2

    Agora, substituímos t = 2 na equação da reta:

    ( 2 t + 3 , - t + 1 , t + 2 )   = ( 7 , - 1,4 )

    Então, o ponto de interseção é Q = ( 7 , - 1,4 ) .

    Passo 3

  5. No item anterior, nós descobrimos que o ponto de interseção ocorre quando t = 2 . Agora, vamos tomar o ponto t = 1 como referência

P   = ( 2 t + 3 , - t + 1 , t + 2 )   = ( 5,0 , 3 )

Então, podemos pegar um ponto X = ( a , b , c ) pertencente ao plano que tenha um vetor dado por:

X P → = P - X = ( 5,0 , 3 ) - ( a , b , c ) = ( 5 - a , - b , 3 - c )

Usando a relação X P → = k ( 1,2 , - 2 ) pois o vetor que construímos é paralelo ao vetor normal do plano, obtemos o sistema de equações

5 - a = k   ⇒ a   =   5 - k

- b = 2 k   ⇒ b = - 2 k

3 - c = - 2 k   ⇒   c =   3 + 2 k

Com isso, temos que o ponto X é dado por X = ( 5 - k , - 2 k , 3 + 2 k ) .

Para descobrir o valor de k , temos que notar que o ponto X pertence ao plano e, por causa disso, deve satisfazer as equações do plano:

π : x + 2 y - 2 z + 3 = 0 ⇒ 5 - k + 2 ⋅ ( - 2 k ) - 2 ⋅ ( 3 + 2 k ) + 3 = 0

⇒ 5 - k - 4 k - 6 - 4 k + 3 = 0

⇒ - 9 k + 2 = 0

⇒ k = 2 9

Com isso, a gente consegue as coordenadas do ponto X :

a = 5 - 2 9 = 43 9

b = - 2 ⋅ 2 9 = - 4 9

c = 3 + 2 k = 3 + 4 9 = 31 9

Ou seja, X = ( 43 9 , - 4 9 , 31 9 ) . Assim, temos

Q X →   = X - Q = ( 43 9 , - 4 9 , 31 9 ) - ( 7 , - 1,4 )   =   ( - 20 9 , 5 9 , - 5 9 ) = - 5 9 ( 4 , - 1,1 )  

Se a gente considerar o ponto Q = ( 7 , - 1,4 ) como inicial e o vetor ( 4 , - 1,1 ) como vetor diretor da reta, podemos obter as equações paramétricas da reta a ' projeção ortogonal da reta a

x =   7 + 4 t ,   y   = - 1 - t ,   z = 4 + t

Resposta

  1. Concorrentes;
  2. Q = ( 7 , - 1,4 ) ;
  3. x =   7 + 4 t ,   y   = - 1 - t ,   z = 4 + t .