- Estude a posição relativa da reta e o plano .
- Se paralelos, determine a distância entre eles, caso contrário, determine o ponto de interseção.
- Determine equações da reta , projeção ortogonal de sobre .
Passo 1
Fala, galera! Que tal resolver mais uma questão? Vamos lá!
- Para estudar a posição relativa da reta e do plano, precisamos primeiro do vetor diretor da reta e do vetor normal do plano. O segundo é fácil, só precisamos analisar a equação do plano: . Para o vetor diretor da reta, precisamos das equações paramétricas:
- Neste item, vamos encontrar o ponto de interseção da reta com o plano. Para isso, só precisamos usar as coordenadas da reta na equação do plano e encontrar o parâmetro que satisfaz à equação do plano:
- No item anterior, nós descobrimos que o ponto de interseção ocorre quando . Agora, vamos tomar o ponto como referência
Então, o vetor diretor da reta é . Para saber se ela é paralela ao plano, podemos testar se o vetor diretor é perpendicular ao vetor normal do plano:
Então, a reta não é paralela. Eles devem ser concorrentes, ou seja, se encontram em um determinado ponto.
Passo 2
Agora, substituímos na equação da reta:
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Então, podemos pegar um ponto pertencente ao plano que tenha um vetor dado por:
Usando a relação pois o vetor que construímos é paralelo ao vetor normal do plano, obtemos o sistema de equações
Com isso, temos que o ponto é dado por .
Para descobrir o valor de , temos que notar que o ponto pertence ao plano e, por causa disso, deve satisfazer as equações do plano:
Com isso, a gente consegue as coordenadas do ponto :
Ou seja, . Assim, temos
Se a gente considerar o ponto como inicial e o vetor como vetor diretor da reta, podemos obter as equações paramétricas da reta projeção ortogonal da reta
Resposta
- Concorrentes;
- ;
- .