Dê exemplos de matrizes em tais que:
Passo 1
Uma boa forma de resolver essa questão é lembrar do conceito de diagonalização, De acordo com a ideia base, uma matriz pode ser diagonalizada se obre o campo P se e somente se seu polinômio mínimo for um produto de fatores lineares distintos sobre P, ou seja, se existe uma matriz invertível P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal.
Portanto, a condição de que pode ser escrita como implica que A satisfaz o polinômio que é o polinômio mínimo, uma vez que é irredutível em relação aos reais
Ou seja, vamos adotar valores quaisquer para a,b,c,d que zerem a equação, se:
Então, substituindo na equação:
Portanto, a matriz seguinte matriz satisfaz a condição:
Passo 2
b)
Se , com a restrição de que B não deve ser totalmente zerado, então, em uma matriz basta que em cada linha tenhamos um termo 0, pois o determinante deve ser zerado, assim, sendo B
A condição é satisfeita
Passo 3
c)
No item C o próprio comando indica para não usar a matriz identidade, portanto, vamos resolver essa por tentativa, se escrevermos uma matriz simples que não seja a identidade, por exemplo uma com um único termo não nulo, como:
Então:
Ou seja, C satisfaz a condição!!
Passo 4
d)
A forma mais simples de encontrar D, tal que , porém é pensar em C como uma matriz bem parecida com a matriz identidade, mas com um termo diferente, por exemplo um negativo, como:
Aplicando a condição dada:
Portanto, a condição de fato é satisfeita!!!