Dê exemplos de matrizes em M_2 x 2 tais que:

(a) A^2 = - I ; (b) B^2 = 0 , B != 0 ; (c) C^2 = C , C != I ; (d) C^2 = I , C != I

Passo 1

Uma boa forma de resolver essa questão é lembrar do conceito de diagonalização, De acordo com a ideia base, uma matriz pode ser diagonalizada se obre o campo P se e somente se seu polinômio mínimo for um produto de fatores lineares distintos sobre P, ou seja, se existe uma matriz invertível P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal.

Portanto, a condição de que A^2 = - I pode ser escrita como A^2 - I = 0 implica que A satisfaz o polinômio x^2 + 1 = 0 que é o polinômio mínimo, uma vez que é irredutível em relação aos reais

[a b c d] [a b c d] + [1 0 0 1] = [a^2 + b c + 1 a b + b d a c + c d b c + d^2] = 0

(a^2 + b c + 1) (d + 1) - ( a c + c d ) ( a b + b d ) = 0

Ou seja, vamos adotar valores quaisquer para a,b,c,d que zerem a equação, se:

{ a = d = 0 b = 1 c = - 1

Então, substituindo na equação:

(0 - 1 + 1) (0 + 1) - ( 0 + 0 ) ( 0 + 0 ) = 0

Portanto, a matriz seguinte matriz satisfaz a condição:

A = [0 1 - 1 0]

Passo 2

b)

Se B^2 = 0 , com a restrição de que B não deve ser totalmente zerado, então, em uma matriz M_2 x 2 basta que em cada linha tenhamos um termo 0, pois o determinante deve ser zerado, assim, sendo B

B = [0 1 0 0]

A condição é satisfeita

Passo 3

c)

No item C o próprio comando indica para não usar a matriz identidade, portanto, vamos resolver essa por tentativa, se escrevermos uma matriz simples que não seja a identidade, por exemplo uma com um único termo não nulo, como:

C = [1 0 0 0]

Então:

[1 0 0 0] * [1 0 0 0] = [1 0 0 0]

Ou seja, C satisfaz a condição!!

Passo 4

d)

A forma mais simples de encontrar D, tal que C^2 = I , porém C != I é pensar em C como uma matriz bem parecida com a matriz identidade, mas com um termo diferente, por exemplo um negativo, como:

Aplicando a condição dada: D = [1 0 0 - 1]

[1 0 0 - 1] * [1 0 0 - 1] = [1 0 0 1]

Portanto, a condição de fato é satisfeita!!!

Resposta

  1. A = [0 1 - 1 0]
  2. B = [0 1 0 0]
  3. C = [1 0 0 0]
  4. D = [1 0 0 - 1]