Nos Exercícios 29 a 32: (a) A equação Ax = 0 tem uma solução não trivial? (b) A equação Ax = b tem pelo menos uma solução para todos os b possíveis?

A é uma matriz 3 × 3 com duas posições de pivô.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) Considere que A é uma matriz 3   × 3 com duas posições de pivô.

O objetivo da questão é determinar se a equação A x = 0 tem uma solução não trivial.

Passo 2

Como a matriz A = 3   × 3   tem três posições de pivô, ela é da forma

A = ∙ 0 0 0 ∙ 0 0 0 0

Aqui, o ponto indica a posição do pivô da matriz A .

Em seguida, escreva o sistema A x = 0 como,

∙ 0 0 0 ∙ 0 0 0 0 x y z = 0 0 0

Isso implica,

x = 0 ,   y = 0

Como z é uma variável livre, podemos escolher z como qualquer número real.

Então, o sistema tem infinitas soluções.

Portanto, o sistema A x = 0 tem uma solução não trivial.

Então, se a matriz A = 3   × 3 tem duas posições de pivô, então o sistema A x = 0 tem uma solução não trivial.

Passo 3

(b) Considere que A é uma matriz 3   × 3 com duas posições de pivô.

O objetivo da questão é determinar se a equação A x = b tem pelo menos uma solução para cada b possível.

Passo 4

A matriz aumentada do sistema A x = b é,

A b = ∙ 0 0 b 1 0 ∙ 0 b 2 0 0 0 b 3

O sistema correspondente é,

x = b 1 y = b 2 0 = b 3

Quando b 3 = 0 , o sistema tem apenas duas equações e 3 variáveis.

Neste caso, o sistema A x = b possui um número infinito de soluções para b 3 = 0 .

Se b 3 ≠ 0 , obtemos a última equação como zero igual a constante diferente de zero.

Isso é impossível, então o sistema A x = b não tem solução se b 3 ≠ 0 .

Assim, a equação A x = b não tem solução para todos os b ≠ 0 possíveis.

Resposta

a) o sistema A x = 0 tem uma solução não trivial.

b) a equação A x = b não tem solução para todos os b ≠ 0 possíveis.