Nos Exercícios 29 a 32: (a) A equação Ax = 0 tem uma solução não trivial? (b) A equação Ax = b tem pelo menos uma solução para todos os b possíveis?
A é uma matriz 3 × 3 com duas posições de pivô.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
(a) Considere que é uma matriz com duas posições de pivô.
O objetivo da questão é determinar se a equação tem uma solução não trivial.
Passo 2
Como a matriz tem três posições de pivô, ela é da forma
Aqui, o ponto indica a posição do pivô da matriz .
Em seguida, escreva o sistema como,
Isso implica,
Como é uma variável livre, podemos escolher como qualquer número real.
Então, o sistema tem infinitas soluções.
Portanto, o sistema tem uma solução não trivial.
Então, se a matriz tem duas posições de pivô, então o sistema tem uma solução não trivial.
Passo 3
(b) Considere que é uma matriz com duas posições de pivô.
O objetivo da questão é determinar se a equação tem pelo menos uma solução para cada possível.
Passo 4
A matriz aumentada do sistema é,
O sistema correspondente é,
Quando , o sistema tem apenas duas equações e 3 variáveis.
Neste caso, o sistema possui um número infinito de soluções para .
Se , obtemos a última equação como zero igual a constante diferente de zero.
Isso é impossível, então o sistema não tem solução se .
Assim, a equação não tem solução para todos os possíveis.
Resposta
a) o sistema tem uma solução não trivial.
b) a equação não tem solução para todos os possíveis.