Nos Exercícios 1 a 4, encontre a equação y = β0 + β1x da reta de mínimos quadráticos que

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere os polinômios p ( t ) = 3 t - t 2 e q ( t ) = 3 + 2 t 2 em P 2 .

O objetivo é encontrar o ∥ p ∥ e ∥ q ∥ em t = - 1,0 , e 1

Para números reais t 0 , t 1 distintos, e t 3 , o produto interno ⟨ p , q ⟩ em P 2 é definido por.

⟨ p , q ⟩ = p t 0 q t 0 + p t 1 q t 1 + p t 3 q t 3 … … ( 1 )

Passo 2

Aqui p ( t ) = 3 t - t 2 e q ( t ) = 3 + 2 t 2

Em t 0 = - 1 , t 1 = 0 , t 2 = 1 , o valor de p ( t ) = 3 t - t 2 e q ( t ) = 3 + 2 t 2 são,

p t 0 = p ( - 1 ) = - 4   q t 0 = q ( - 1 ) = 5 p t 1 = p ( 0 ) = 0  

q t 1 = q ( 0 ) = 3 p t 2 = p ( 1 ) = 2   q t 2 = q ( 1 ) = 5

Portanto, o comprimento ∥ p ∥ é,

∥ p ∥   = ⟨ p , p ⟩   = p ( - 1 ) p ( - 1 ) + p ( 0 ) p ( 0 ) + p ( 1 ) p ( 1 )   = ( - 4 ) ( - 4 ) + ( 0 ) ( 0 ) + ( 2 ) ( 2 )   = 20 = 2 5

Portanto, o comprimento ∥ q ∥ é,

∥ q ∥   = ⟨ q , q ⟩   = q ( - 1 ) q ( - 1 ) + q ( 0 ) q ( 0 ) + q ( 1 ) q ( 1 )   = ( 5 ) ( 5 ) + ( 3 ) ( 3 ) + ( 5 ) ( 5 )   = 59 .

Resposta

∥ p ∥ = 2 5

∥ q ∥ = 59