Nos Exercícios 1 a 4, encontre a equação y = β0 + β1x da reta de mínimos quadráticos que melhor se ajusta aos dados.

3.(–1,0), (0,1), (1,2), (2,4)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é encontrar a equação y = β 0 + β 1 x da linha de menos quadrados que melhor se encaixa nos seguintes pontos de dados:

- 1,0 , 0,1 , 1,2 , 2,4

Use as coordenadas em x dos dados para construir a matriz de design X e as coordenadas em y para construir o vetor de observação y :

X = 1 - 1 1 0 1 1 1 2 e y = 0 1 2 4

Para a solução de menos quadrados de X β = y , obtenha as equações normais:

X T X β = X T y

Passo 2

Computando X T X e X T y a seguir:

X T X   = 1 1 1 1 - 1 0 1 2 1 - 1 1 0 1 1 1 2   = 4 2 2 6

X T y   = 1 1 1 1 - 1 0 1 2 0 1 2 4   = 7 10

Passo 3

Temos que β = β 0 β 1 então as equações normais são:

4 2 2 6 β 0 β 1 = 7 10

As operações de linha podem ser usadas para resolver o sistema de equação, mas X τ X é invertível assim,

X T X - 1   = 4 2 2 6 - 1   = 1 24 - 4 6 - 2 - 2 4   = 1 20 6 - 2 - 2 4

Passo 4

Resolvendo X T X β = X T y como β = X T X - 1 X T y

Substituto das matrizes resultantes no β = X T X - 1 X T y .

β   = 1 20 6 - 2 - 2 4 7 10   = 1 20 22 26   = 11 / 10 13 / 10   = 1.1 1.3

Portanto, a equação da linha de menos quadrados é y = 1.1 + 1.3 x .

Resposta

y = 1.1 + 1.3 x