Nos Exercícios 1 a 4, encontre a equação y = β0 + β1x da reta de mínimos quadráticos que melhor se ajusta aos dados.

1.(0,1), (1,1), (2,2), (3,2)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é encontrar a equação y = β 0 + β 1 x da linha de menos quadrados que melhor se encaixa nos seguintes pontos de dados:

( 0,1 ) , ( 1,1 ) , ( 2,2 ) , ( 3,2 ) . 

Passo 2

As x coordenadas dos dados para construir a matriz de design X e as y coordenadas para construir o vetor de observação y :

X = 1 0 1 1 1 2 1 3   e   y = 1 1 2 2

Para a solução de menos quadrados de X β = y , a gente consegue as equações normais:

X T X β = X T y

Passo 3

Computando X ⊤ X e X ⊤ y assim:

X T X = 1 1 1 1 0 1 2 3 1 0 1 1 1 2 1 3

= 1 + 1 + 1 + 1 0 + 1 + 2 + 3 0 + 1 + 2 + 3 0 + 1 + 4 + 9

= 4 6 6 14 X T y = 1 1 1 1 0 1 2 3 1 1 2 2

= 1 + 1 + 2 + 2 0 + 1 + 4 + 6

= 6 11

Passo 4

Fazendo   β = β 0 β 1 então as equações normais são:

X T X β   = X T y 4 6 6 14 β 0 β 1   = 6 11 β 0 β 1   = 4 6 6 14 - 1 6 11

As operações de linha podem ser usadas para resolver o sistema de equação, mas X T X é invertível assim,

X τ X - 1   = 4 6 6 14 - 1   = 1 56 - 36 14 - 6 - 6 4   = 1 20 14 - 6 - 6 4

Passo 5

Substitua as matrizes resultantes no β = X T X - 1 X τ y .

β   = 1 20 14 - 6 - 6 4 6 11   = 1 20 84 - 66 - 36 + 44 = 1 20 18 8 = 9 / 10 2 / 5 = 0.9 0.4

Portanto, β = β 0 β 1 = 0.9 0.4

Então, a equação da linha de menos quadrados é y = 0.9 + 0.4 x .

Resposta

y = 0.9 + 0.4 x