Nos Exercícios 1 a 4, encontre a equação y = β0 + β1x da reta de mínimos quadráticos que melhor se ajusta aos dados.

4.(2,3), (3,2), (5,1), (6,0)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é encontrar a equação y = β 0 + β 1 x da linha de menos quadrados que melhor se encaixa nos seguintes pontos de dados:

( 2,3 ) , ( 3,2 ) , ( 5,1 ) , ( 6,0 )

Use as coordenadas em x dos dados para construir a matriz de design X e as coordenadas em y para construir o vetor de observação y :

X = 1 2 1 3 1 5 1 6 e y = 3 2 1 0

Para a solução de menos quadrados de X β = y , obtenha as equações normais:

X T X β = X T y . 

Passo 2

Computando X T X e X T y a seguir:

X T X   = 1 1 1 1 2 3 5 6 1 2 1 3 1 5 1 6   = 4 16 16 74

X T y = 1 1 1 1 2 3 5 6 3 2 1 0

= 6 17

Passo 3

Já que β = β 0 β 1 então as equações normais são:

4 16 16 74 β 0 β 1 = 6 17

As operações de linha podem ser usadas para resolver o sistema de equação, mas X T X é invertível assim,

X T X - 1   = 4 16 16 74 - 1   = 1 296 - 256 74 - 16 - 16 4   = 1 40 74 - 16 - 16 4

Passo 4

Resolvendo X T X β = X T y como β = X T X - 1 X T y .

Substitua as matrizes resultantes no β = X T X - 1 X T y .

β   = 1 40 74 - 16 - 16 4 6 17   = 1 40 172 - 28   = 43 / 10 - 7 / 10   = 4.3 - 0.7

Portanto, a equação da linha de menos quadrados é y = 4.3 - 0.7 x .

Resposta

y = 4.3 - 0.7 x