Nos Exercícios 1 a 4, encontre a equação y = β0 + β1x da reta de mínimos quadráticos que melhor se ajusta aos dados.

2.(1,0), (2,1), (4,2), (5,3)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é encontrar a equação y = β 0 + β 1 x da linha de menos quadrados que melhor se encaixa nos seguintes pontos de dados:

( 1,0 ) , ( 2,1 ) , ( 4,2 ) , ( 5,3 )

Use as coordenadas em x dos dados para construir a matriz de design X e as coordenadas em y para construir o vetor de observação y :

X = 1 1 1 2 1 4 1 5 e y = 0 1 2 3

Para a solução de menos quadrados de X β = y , obtenha as equações normais:

X T X β = X T y . 

Passo 2

Computando X T X e X T y a seguir:

X T X   = 1 1 1 1 1 2 4 5 1 1 1 2 1 4 1 5   = 4 12 12 46 X T y   = 1 1 1 1 1 2 4 5 0 1 2 3   = 6 25

Passo 3

Já que β = β 0 β 1 então as equações normais são:

4 12 12 46 β 0 β 1 = 6 25

As operações de linha podem ser usadas para resolver o sistema de equação, mas X τ X é invertível assim,

X τ X - 1   = 4 12 12 46 - 1   = 1 184 - 144 46 - 12 - 12 4   = 1 40 46 - 12 - 12 4

Passo 4

Resolvendo X T X β = X T y como β = X T X - 1 X T y .

Substitua as matrizes resultantes no β = X T X - 1 X T y .

β   = 1 40 46 - 12 - 12 4 6 25   = 1 40 - 24 28   = - 3 / 5 7 / 10   = - 0.6 0.7

Portanto, a equação da linha de menos quadrados é y = - 0.6 + 0.7 x .

Resposta

y = - 0.6 + 0.7 x