Enunciado

Nos Exercícios 5 – 8 , encontre uma expansão em valores singulares reduzida de A.

A matriz A do Exercício 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

A = - 2 - 1 2       2 1 - 2

Temos que encontrar a expansão reduzida do valor singular da matriz fornecida. Primeiro calculamos a decomposição do valor singular da matriz fornecida. Para isso temos que calcular A T A :

A T A = - 2 2       - 1 1       2 - 2 - 2 - 1 2       2 1 - 2

A T A = - 2 - 2 + - 1 - 1 + 2 2 2 - 2 + 1 - 1 + - 2 2       - 2 - 2 + - 1 2 + 2 - 2 2 2 + 1 1 + - 2 - 2

A T A = 9 - 9       - 9 9

Os auto valores de A T A são:

λ 1 = 18

λ 2 = 0

Com os autovetores correspondentes:

- 1 1 e 1 1

Como esses vetores são ortogonais, nós normalizamos para obter:

v 1 = - 1 2 1 2

v 2 = 1 2 1 2

Passo 2

Os valores singulares de A são:

σ 1 = λ 1 = 18 = 3 2

σ 2 = λ 2 = 0 = 0

Temos então que:

V = - 1 2 1 2     1 2 1 2

∑ = 3 2 0 0       0 0 0

Passo 3

Agora, para encontrar U , temos que calcular:

u 1 = 1 σ 1 A v 1

u 1 = 1 3 2 - 2 - 1 2       2 1 - 2 - 1 2 1 2

u 1 = 2 3   1 3 - 2 3

Temos também que:

u 2 = 1 σ 2 A v 2

u 2 = 1 2 0 1 2

O vetor u 3 deve ser a solução do sistema linear homogêneo:

2 3   1 2       1 3 0       - 2 3 1 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0

Passo 4

A partir disso, obtemos as equações 2 x 1 + x 2 - 2 x 3 = 0 . Resolvendo essas equações, obtemos a solução geral:

x 1 x 2 x 3 = t 1 0 - 1

Normalizando esse vetor, temos:

1 2 0 - 1 2

Esses vetores já formam uma base ortonormal para R 3 portanto:

U = 2 3   1 3 - 2 3       1 2 0 1 2       1 2 0 - 1 2

Portanto, a decomposição do valor singular de A é:

A = U ∑ V T

A = 2 3   1 3 - 2 3       1 2 0 1 2       1 2 0 - 1 2 3 2 0 0       0 0 0 - 1 2 1 2     1 2 1 2

Passo 5

Sabemos que a expansão de valor singular reduzido de uma matriz é:

A = u 1 σ 1 v 1 T + u 2 σ 2 v 2 T

Portanto, a expansão do valor singular da matriz fornecida é:

A = 3 2 2 3   1 3 - 2 3 - 1 2     1 2

Resposta

A = 3 2 2 3   1 3 - 2 3 - 1 2     1 2

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