Nos Exercícios de 20 a 22, encontre todas as soluções para o sistema linear dado.

a ) x + y + 2 z + 3 w = 13 x - 2 y + z + w = 8 3 x + y + z - w = 1        

b ) x + y + z = 1 x + y - 2 z = 3 2 x + y + z = 2

c ) 2 x + y + z - 2 w = 1 3 x - 2 y + z - 6 w = - 2 x + y - z - w = - 1 6 x + z - 9 w = - 2 5 x - y + 2 z - 8 w = 3

d ) x + y + z = 0 x                 + z = 0 2 x + y - 2 z = 0 x + 5 y + 5 z = 0

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de sistemas lineares.

Item a

Como o sistema possui três equações e quatro variáveis, vamos reescrevê-lo em função de uma das variáveis:

x + y + 2 z = 13 - 3 w x - 2 y + z = 8 - w 3 x + y + z = 1 + w        

Usando o procedimento da regra de Cramer para o sistema temos que o determinante da matriz incompleta é dado por:

D = 1 1 2 1 - 2 1 3 1 1 = - 2 + 3 + 2 + 12 - 1 - 1 = 13

Os determinantes relacionados a cada variável (troca-se a coluna dos coeficientes da variável pela coluna dos resultados do sistema linear) são dados por:

D x = 1 3 - 3 w 1 2 8 - w - 2 1 1 + w 1 1 = - 2 13 - 3 w + 2 8 - w + 1 + w + 4 1 + w - 8 + w

- 13 + 3 w = - 26 + 6 w + 16 - 2 w + 4 + 4 w - 20 + 5 w = 13 w - 26

D y = 1 13 - 3 w 2 1 8 - w 1 3 1 + w 1 = 8 - w + 3 13 - 3 w + 2 1 + w - 6 8 - w - 13 + 3 w

- 1 - w = 39 - 9 w + 2 + 2 w - 48 + 6 w - 6 + w = - 13

D z = 1 1 1 3 - 3 w 1 - 2 8 - w 3 1 1 + w = - 2 1 + w + 13 - 3 w + 3 8 - w + 6 13 - 3 w - 1 - w

- 8 + w = - 2 - 2 w + 24 - 3 w + 78 - 18 w + 4 - 3 w = 104 - 26 w

Usando os resultados obtidos temos que:

x = D x D = 1 3 w - 26 13 = w - 2 ; y = D y D = - 13 13 = - 1 ;   z = D z D = 104 - 26 w 13 = 8 - 2 w

Valores estes que satisfazem as três equações do sistema linear (Para verificar basta substituir os resultados de x, y e z do lado esquerdo de cada equação, e realizar os cálculos até confirmar que o resultado é exatamente igual ao lado direito de cada equação).

A solução é dada por:

S = { w - 2 , - 1 , - 2 w + 8 , w }

Passo 2

Item b

Usando o processo de escalonamento com equações lineares para o sistema:

x + y + z = 1 x + y - 2 z = 3 2 x + y + z = 2

Podemos usar as combinações lineares a seguir:

I I - I : x + y - 2 z = 3 - x - y - z = - 1 = > - 3 z = 2 = > 3 z = - 2

I I I - 2 I : 2 x + y + z = 2 - 2 x - 2 y - 2 z = - 2 = > - y - z = 0 = > y + z = 0

Reescrevendo o sistema teremos:

x + y + z = 1 3 z = - 2 y + z = 0

Resolvendo o sistema temos:

3 z = - 2 = > z = - 2 3

Substituindo esse resultado na equação 3 temos:

y - 2 3 = 0 = > y = 2 3

Substituindo os resultados obtidos na equação 1 temos:

x + 2 3 - 2 3 = 1 = > x = 1

Os resultados satisfazem as três equações (Podem ser verificados ao substituir os valores no lado esquerdo das três equações, e resolvidos os cálculos até a obtenção do valor do lado direito destas). A solução é dada por:

S = 1 , 2 3 ,   - 2 3

Passo 3

Item c

Usando o processo de escalonamento com equações lineares para o sistema:

2 x + y + z - 2 w = 1 3 x - 2 y + z - 6 w = - 2 x + y - z - w = - 1 6 x + z - 9 w = - 2 5 x - y + 2 z - 8 w = 3

Para zerarmos a variável x nas equações 2 a 5 faremos as combinações lineares a seguir:

2 I I - 3 I : 6 x - 4 y + 2 z - 12 w = - 4 - 6 x - 3 y - 3 z + 6 w = 6 = > - 7 y - z - 6 w = 2

I I I - 1 2 I : x + y - z - w = - 1 - x - y 2 - z 2 + w = - 1 2 = > y 2 - 3 z 2 = - 3 2

I V - 3 I : 6 x + z - 9 w = - 2 - 6 x - 3 y - 3 z + 6 w = - 3 = > - 3 y - 2 z - 3 w = - 5

2 V - 5 I : 10 x - 2 y + 4 z - 16 w = 6 - 10 x - 5 y - 5 z + 10 w = - 5 = > - 7 y - z - 6 w = 1

Reescrevendo o sistema teremos:

2 x + y + z - 2 w = 1 7 y + z + 6 w = - 2 y - 3 z = - 3 3 y + 2 z + 3 w = 5 7 y + z + 6 w = - 1

Ao observarmos as novas equações (II) e (V) vemos que o sistema não terá solução, pois:

V - I I :   7 y + z + 6 w = - 1 - 7 y - z - 6 w = 2 = > 0 = 1   ( a b s u r d o   m a t e m á t i c o )

Logo, o sistema não tem solução.

Passo 4

Item d

Usando o processo de escalonamento com equações lineares para o sistema:

x + 2 y + 3 z - w = 0 2 x + y - z + w = 3 x - y                   + w = - 2

Como o sistema possui três equações e quatro variáveis, vamos reescrevê-lo em função de uma das variáveis:

x + 2 y + 3 z = w           2 x + y - z = 3 - w x - y                 = - 2 - w

Usando o procedimento da regra de Cramer para o sistema temos que o determinante da matriz incompleta é dado por:

D = 1 2 3 2 1 - 1 1 - 1 0 = 0 - 6 - 2 - 3 - 0 - 1 = - 12

Os determinantes relacionados a cada variável (troca-se a coluna dos coeficientes da variável pela coluna dos resultados do sistema linear) são dados por:

D x = w 2 3 3 - w 1 - 1 - 2 - w - 1 0 = 0 - 3 3 - w - 2 - 2 - w - 3 - 2 - w - 0 - w =

= - 9 + 3 w + 4 + 2 w + 6 + 3 w - w = 1 + 7 w

D y = 1 w 3 2 3 - w - 1 1 - 2 - w 0 = 0 + 6 - 2 - w - w - 3 3 - w - 0 - 2 - w =

= - 12 - 6 w - 9 + 3 w - 2 - 2 w = - 23 - 5 w

D z = 1 2 w 2 1 3 - w 1 - 1 - 2 - w = - 2 - w - 2 w + 2 3 - w - w - 4 - 2 - w + 3 - w =

= 6 - 2 w + 8 + 4 w + 1 - 5 w = 15 - 3 w

Usando os resultados obtidos temos que:

x = D x D = 1 + 7 w - 12 = - 1 + 7 w 12 ; y = D y D = - 23 - 5 w - 12 = 23 + 5 w 12 ;

z = D z D = 15 - 3 w - 12 = 3 w - 15 12

Valores estes que satisfazem as três equações do sistema linear (Para verificar basta substituir os resultados de x, y e z do lado esquerdo de cada equação, e realizar os cálculos até confirmar que o resultado é exatamente igual ao lado direito de cada equação).

A solução é dada por:

S = - 1 + 7 w 12 , 23 + 5 w 12 , - 15 + 3 w 12 , w

Resposta

Ver passo a passo.