Nos Exercícios de 20 a 22, encontre todas as soluções para o sistema linear dado.

a ) x + y + 2 z = - 1 x - 2 y + z = - 5 3 x + y + z = 3      

b ) x + y + 3 z + 2 w = 7 2 x - y               + 4 w = 8               3 y + 6 z                 = 8      

c ) x + 2 y - 4 z = 3 x - 2 y + 3 z = - 1 2 x + 3 y - z = 5 4 x + 3 y - 2 z = 7 5 x + 2 y - 6 z = 7

d ) x + y + z = 0 x                 + z = 0 2 x + y - 2 z = 0 x + 5 y + 5 z = 0

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de sistemas lineares.

Item a

Usando o procedimento da regra de Cramer para o sistema:

x + y + 2 z = - 1 x - 2 y + z = - 5 3 x + y + z = 3      

O determinante da matriz incompleta é dado por:

D = 1 1 2 1 - 2 1 3 1 1 = - 2 + 3 + 2 + 12 - 1 - 1 = 13

Os determinantes relacionados a cada variável (troca-se a coluna dos coeficientes da variável pela coluna dos resultados do sistema linear) são dados por:

D x = - 1 1 2 - 5 - 2 1 3 1 1 = 2 + 3 - 10 + 12 + 1 + 5 = 13

D y = 1 - 1 2 1 - 5 1 3 3 1 = - 5 - 3 + 6 + 30 - 3 + 1 = 26

D z = 1 1 - 1 1 - 2 - 5 3 1 3 = - 6 - 15 - 1 - 6 + 5 - 3 = - 26

Usando os resultados obtidos temos que:

x = D x D = 13 13 = 1 ; y = D y D = 26 13 = 2 ;   z = D z D = - 26 13 = - 2

Valores estes que satisfazem as três equações do sistema linear (Para verificar basta substituir os resultados de x, y e z do lado esquerdo de cada equação, e realizar os cálculos até confirmar que o resultado é exatamente igual ao lado direito de cada equação).

A solução é dada por:

S = { 1,2 , - 2 }

Passo 2

Item b

Usando o procedimento da regra de Cramer para o sistema:

x + y + 3 z + 2 w = 7 2 x - y               + 4 w = 8               3 y + 6 z                 = 8      

Como se trata de um sistema com 3 equações e 4 variáveis, temos um sistema possível indeterminado ou um sistema impossível, e a resolução será dada em termos de uma das variáveis. Reescrevemos o sistema da seguinte forma:

x + y + 3 z = 7 - 2 w 2 x - y               = 8 - 4 w                 3 y + 6 z                 = 8      

O determinante da matriz incompleta é dado por:

D = 1 1 3 2 - 1 0 0 3 6 = - 6 + 0 + 18 - 0 - 0 - 12 = 0

Como o determinante da matriz incompleta é igual a zero, teremos que ter todos os determinantes relacionados as variáveis iguais a zero para que tenhamos um sistema possível indeterminado. Caso um desses determinantes seja diferente de zero teremos um sistema impossível.

D x = 7 - 2 w 1 3 8 - 4 w - 1 0 8 3 6 = - 6 7 - 2 w + 0 + 9 8 - 4 w + 24 - 0 - 6 8 - 4 w =

= - 42 + 12 w + 72 - 36 w + 24 - 48 + 24 w = 6

Como Dx é diferente de zero temos um sistema impossível, ou seja, sem solução.

Além da regra de Cramer podemos escalonar o sistema (Como outra forma de visualizar a impossibilidade de resolução):

I I I - 2 I :   3 y + 6 z = 8 - 2 x - 2 y - 6 z = - 14 + 4 w = > - 2 x + y = - 6 + 4 w

Reescrevendo o sistema temos:

x + y + 3 z = 7 - 2 w 2 x - y               = 8 - 4 w   - 2 x + y = - 6 + 4 w

Ao somarmos as equações (II) e (III) teremos:

I I + I I I :   2 x - y = 8 - 4 w - 2 x + y = - 6 + 4 w = > 0 = 2   ( u m   a b s u r d o   m a t e m á t i c o )

Logo, o sistema dado não possui solução.

Passo 3

Item c

Usando o processo de escalonamento com equações lineares para o sistema:

x + 2 y - 4 z = 3 x - 2 y + 3 z = - 1 2 x + 3 y - z = 5 4 x + 3 y - 2 z = 7 5 x + 2 y - 6 z = 7

Para zerarmos a variável x nas equações 2 a 5 faremos as combinações lineares a seguir:

I I - I : x - 2 y + 3 z = - 1 - x - 2 y + 4 z = - 3 = > - 4 y + 7 z = - 4

I I I - 2 I : 2 x + 3 y - z = 5 - 2 x - 4 y + 8 z = - 6 = > - y + 7 z = - 1

I V - 4 I : 4 x + 3 y - 2 z = 7 - 4 x - 8 y + 16 z = - 12 = > - 5 y + 14 z = - 5

V - 5 I : 5 x + 2 y - 6 z = 7 - 5 x - 10 y + 20 z = - 15 = > - 8 y + 14 z = - 8

Reescrevendo o sistema teremos:

x + 2 y - 4 z = 3 - 4 y + 7 z = - 4 - y + 7 z = - 1 - 5 y + 14 z = - 5 - 8 y + 14 z = - 8

De modo a simplificar o sistema, podemos aplicar as seguintes operações:

I I I - I I :   - y + 7 z = - 1 4 y - 7 z = 4     = > 3 y = 3

I V - V :   - 5 y + 14 z = - 5 8 y - 14 z = 8     = > 3 y = 3

Reescrevendo o sistema teremos:

x + 2 y - 4 z = 3 3 y       =   3   - y + 7 z = - 1

Resolvendo o sistema, teremos que:

3 y = 3 = > y = 3 3 = 1

Substituindo esse resultado na terceira equação:

- 1 + 7 z = - 1 = > 7 z = - 1 + 1 = > z = 0 7 = 0

Substituindo os resultados na equação 1:

x + 2 ∙ 1 - 4 ∙ 0 = 3 = > x = 3 - 2 = 1

A solução é:

S = x , y , z = 1,1 , 0

Passo 4

Item d

Usando o processo de escalonamento com equações lineares para o sistema:

x + y + z = 0 x                 + z = 0 2 x + y - 2 z = 0 x + 5 y + 5 z = 0

Para zerarmos a variável x nas equações 2 a 4 faremos as combinações lineares a seguir:

I I - I : x                   + z = 0 - x - y - z = 0 = > - y = 0

I I I - 2 I : 2 x + y - 2 z = 0 - 2 x - 2 y - 2 z = 0 = > - y - 4 z = 0

I V - I : x + 5 y + 5 z = 0 - x - y - z = 0 = > 4 y + 4 z = 0

Reescrevendo o sistema teremos:

x + y + z = 0 - y           = 0 - y - 4 z = 0 4 y + 4 z = 0

Resolvendo o sistema, teremos que:

- y = 0 = > y = 0

Substituindo esse resultado na terceira equação:

- 0 - 4 z = 0 = > z = 0

Substituindo os resultados na equação 1:

x + 0 + 0 = 0 = > x = 0

A solução é:

S = x , y , z = 0,0 , 0

Resposta

Ver passo a passo.