Nos Exercícios 29 a 32: (a) A equação Ax = 0 tem uma solução não trivial? (b) A equação Ax = b tem pelo menos uma solução para todos os b possíveis?

A é uma matriz 3 × 2 com duas posições de pivô.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Passo 2

Considere uma matriz A de ordem 3 × 2   com duas posições pivôs, para que a matriz possa ser tomada como

A = ∙ 0 0 ∙ 0 0

Aqui o ponto escuro ( ) representa a posição pivô.

Passo 3

a) Considere a equação,

A x = 0

Este sistema pode ser representado em notação de matriz, uma vez que cada coluna de conter uma posição pivô, portanto, este sistema dá,

∙ 0 0 0 ∙ 0 0 0 0

Já que cada coluna de A contém uma posição pivô então esse sistema nos dá

x 1 = 0

x 2 = 0

Isso implica que não existe uma variável livre para este sistema.

Portanto, a equação A x = 0 não tem nenhuma solução não trivial.

Passo 4

Considere a equação,

A x = b

Aqui

b = b 1 b 2 b 3

Agora a equação A x = b pode ser representada por

∙ 0 b 1 0 ∙ b 2 0 0 b 3

Observe que a última linha é da forma, portanto, para um valor não-zero deste sistema será inconsistente.

Portanto, a equação não tem nenhuma solução para 0,0 , b 3 , então para um valor diferente de zero de b 3 esse sistema vai ser inconsistente.

Portanto, a equação A x = b não tem nenhuma solução para cada valor possível de b . b 3 A x = b b

Resposta

a) a equação A x = 0 não tem nenhuma solução não trivial.

b) a equação A x = b não tem nenhuma solução para cada valor possível de b .