Os Exercícios 3 a 8 se referem a 2 com o produto interno dado pelo cálculo do valor dos polinômios em –1, 0 e 1. (Veja o Exemplo 2.)

4.Calcule

, em que p(t) = 3t – t2 e q(t) = 3 + 2t2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere os polinômios p ( t ) = 3 t - t 2 e q ( t ) = 3 + 2 t 2 em P 2 .

O objetivo é encontrar o produto interno p , q em t = - 1,0 ,  e  1

Passo 2

Definição:

Para números reais distintos t 0 , t 1 , e t 3 , o produto interno ⟨ p , q ⟩ em P 2 é definido por,

⟨ p , q ⟩ = p t 0 q t 0 + p t 1 q t 1 + p t 3 q t 3 … … ( 1 )

Passo 3

Aqui p ( t ) = 3 t - t 2 e q ( t ) = 3 + 2 t 2 Em t 0 = - 1 , t 1 = 0 , t 2 = 1 , o valor de p ( t ) = 3 t - t 2 e q ( t ) = 3 + 2 t 2 são:

p t 0   = 3 ( - 1 ) - ( - 1 ) 2 q t 0   = 3 + 2 ( - 1 ) 2   = - 4   = 5 p t 1 = p 0 q t 1 = q 0   = 3 ( 0 ) - ( 0 ) 2   = 3 + 2 ( 0 ) 2   = 0   = 3 p t 2 = p 1 q t 2 = q 1   = 3 ( 1 ) - ( 1 ) 2   = 3 + 2 ( 1 ) 2   = 2   = 5

Portanto, o produto interno ⟨ p , q ⟩ em t = - 1,0 ,  e  1

⟨ p , q ⟩   = p ( - 1 ) q ( - 1 ) + p ( 0 ) q ( 0 ) + p ( 1 ) q ( 1 )     de   ( 1 )   = ( - 4 ) ( 5 ) + 0 ( 3 ) + ( 2 ) ( 5 )   = - 20 + 10   = - 10

Resposta

⟨ p , q ⟩ = - 10