Os Exercícios 3 a 8 se referem a 2 com o produto interno dado pelo cálculo do valor dos polinômios em –1, 0 e 1. (Veja o Exemplo 2.)

5.Calcule ||p|| e ||q|| para p e q como no Exercício 3.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere os polinômios p ( t ) = 4 + t e q ( t ) = 5 - 4 t 2 em P 2 .

O objetivo é encontrar o ∥ p ∥ e ∥ q ∥ em t = - 1,0  e  1

Para números reais distintos t 0 , t 1 , e , t 3 o produto interno ⟨ p , q ⟩ em P 2 é definido por,

⟨ p , q ⟩ = p t 0 q t 0 + p t 1 q t 1 + p t 3 q t 3 … … ( 1 )

Aqui p ( t ) = 4 + t e q ( t ) = 5 - 4 t 2

Em t 0 = - 1 , t 1 = 0 , t 2 = 1 , o valor de p ( t ) = 4 + t e q ( t ) = 5 - 4 t 2 são,

p t 0 = p - 1 = 3  e  q t 0 = q - 1 = 1 p t 1 = p 0 = 4  e  q t 1 = q 0 = 5 p t 2 = p 1 = 5  e  q t 2 = q 1 = 1

Portanto, o comprimento ∥ p ∥ é,

  ∥ p ∥ = ⟨ p , p ⟩   = p ( - 1 ) p ( - 1 ) + p ( 0 ) p ( 0 ) + p ( 1 ) p ( 1 )   de   ( 1 )   = ( 3 ) ( 3 ) + ( 4 ) ( 4 ) + ( 5 ) ( 5 )   = 50   = 5 2 .

Portanto, o comprimento ∥ q ∥ é,

  ∥ q ∥ = ⟨ q , q ⟩   = q ( - 1 ) q ( - 1 ) + q ( 0 ) q ( 0 ) + q ( 1 ) q ( 1 )   de   ( 1 )   = ( 1 ) ( 1 ) + ( 5 ) ( 5 ) + ( 1 ) ( 1 )   = 27   = 3 3 .

Resposta

∥ p ∥ = 5 2

∥ q ∥ = 3 3