Nos exercícios de 9 a 11, seja f : R 2 → R 2 a transformação matricial definida por f x = A x , onde

A = 1 3 - 1 2

Determine se o vetor w dado está na imagem de f .

9. w = 7 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos supor, se possível que w pertença ao “range” de f , logo, temos o seguinte vetor

v = v 1 v 2

Como f v = w , portanto

A v = w

Substituindo os termos, nós temos que

1 3 - 1 2 v 1 v 2 = 7 3

Com isso,

v 1 + 3 v 2 - v 1 + 2 v 2 = 7 3

Passo 2

Comparando as matrizes e fazendo disso um sistema linear, temos que

v 1 + 3 v 2 = 7   ( 1 )

- v 1 + 2 v 2 = 3   ( 2 )

Agora, vamos resolver (1) e (2) para v 1 e v 2 , adicionando as equações

5 v 2 = 10

O que implica

v 2 = 2

E com isso v 1 é igual a

v 1 = 7 - 6 = 1

Portanto, existe um vetor v tal que

v = 1 2

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

A v = w

Portanto, v pertence ao alcance de f .

Resposta

Respondido acima!