As in Exercise 15, describe the solutions of the following system in parametric vector form, and provide a geometric comparison with the solution set in Exercise 6.

x 1 +   3 x 2 - 5 x 3 = 4

x 1 +   4 x 2 - 8 x 3 = 7

- 3 x 1 - 7 x 2 + 9 x 3 = - 6

Passo 1

Beleza meu pessoal que curte estudar livros estrangeiros. Tudo bem com vocês? Espero que sim e quero todos atentos a resolução de hoje, que será bem simples, mas completa.

Primeiro passo é darmos uma olhada para a nossa matriz aumentada

1 3 - 5 4 1 4 - 8 7 - 3 - 7 9 - 6

Passo 2

Reduza a matriz para a forma escalonada de linhas

1 3 - 5 4 1 4 - 8 7 - 3 - 7 9 - 6   R 1 ↔ R 3 ,   R 2 +   1 3 R 1 → R 2   - 3 - 7 9 - 6 0 5 3 - 5 5 1 3 - 5 4

- 3 - 7 9 - 6 0 5 3 - 5 5 1 3 - 5 4   R 3 + 1 3 R 1 → R 3 ,   R 2 -   2 5 R 1 → R 3   - 3 - 7 9 - 6 0 5 3 - 5 5 0 0 0 0

- 3 - 7 9 - 6 0 5 3 - 5 5 0 0 0 0   3 5 R 2 → R 2 ,   R 1 +   7 R 2 → R 1 ,   - 1 3 R 1 → R 1   1 0 4 - 5 0 1 - 3 3 0 0 0 0

Passo 3

Assim nós temos

x 1 + 4 x 3 = - 4   →   x 1   =   - 5   - 4 x 3

x 2 - 3 x 3 = 3   →   x 2 = 3 + 3 x 3

portanto, as soluções do sistema dado na forma vetorial paramétrica é

x   =   x 1 x 2 x 3   =   - 5   -   4 x 3 3   +   3 x 3 x 3   =   - 5 3 0   +   - 4 x 3 3 x 3 x 3   =   - 5 3 0   +   x 3 - 4 3 1

uma equação vetorial paramétrica do plano é

x   =   p   +   t v =   - 5 3 0   +   x 3 - 4 3 1

Do exercício 6 nós temos que a solução do sistema é

x   =   x 3 - 4 3 1

de acordo com isso e com o Exemplo 6, nós podemos concluir que a solução para Ax = b é

- 4 3 1

Paralelo a solução de A x   =   0

Resposta

x   =   p   +   t v   =   - 5 3 0 +   x 3 5 - 2 1

O conjunto solução de Ax = b é uma linha - 4 3 1 a que passa paralela ao conjunto solução de Ax = 0