In Exercises 25–28, determine if the specified linear transformation is (a) one-to-one and (b) onto. Justify each answer.

The transformation in Exercise 17.

Passo 1

Beleza pessoal, sei que vocês estão prontos e dispostos para mais uma resolução, então vamos nessa!!!

  1. se escrevermos X e T(x) como vetores coluna, podemos inspecionar para determinar a matriz padrão de T, visualizando o cálculo do vetor linha de cada
  2. T x = 0 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 + x 4 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∙ x 1 x 2 x 3 x 4

                                                                  =   0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ∙ x 1 x 2 x 3 x 4

    então, a matriz padrão A desta transformação T é

    A =   0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

    As colunas da matriz A não são múltiplas, então elas são linearmente independentes.

    O Teorema 12 diz que uma transformação linear T é injetora se e somente se as colunas de uma matriz de A são linearmente independentes.

    Então, a transformação linear

    T x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 0 , x 1 + x 2 , x 2 + x 3 , x 3 + x 4

    É injetora.

    Passo 2

  3. de a) temos uma matriz padrão

A =   0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

aplicamos uma redução de linha de uma matriz padrão A:

A =   0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1   R 1  

s u b s t i t u i r   c o m   R 4 ,   R 2   =   - r 3   +   r 2

~   0 0 1 1 1 0 - 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1   R 1   s u s b t i t u i r   c o m   R 2

  ~   1 0 - 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0   R 2   s u s b t i t u i r   c o m   R 3

  ~   1 0 - 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0   R 2   =   - r 3   +   r 2

  ~   1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 0 1 1 0 0 0 0

A matriz A não tem posição de pivô em todas as linhas, então pelo Teorema 4 as colunas de A não abrangem R. Portanto, a transformação linear T não é em R, pelo Teorema 12.

O Teorema 4 diz que a matriz A tem uma posição de 4 pivôs se e somente se a coluna da matriz A.

O Teorema 12 diz que uma transformação linear T :   R p → R q está em R q se e somente se uma coluna da matriz de A pertence R q .

Resposta

  1. T x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 0 , x 1 + x 2 , x 2 + x 3 , x 3 + x 4 é injetora
  2. T x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 0 , x 1 + x 2 , x 2 + x 3 , x 3 + x 4 não pertence ao R 4