In Exercises 25–28, determine if the specified linear transformation is (a) one-to-one and (b) onto. Justify each answer.
The transformation in Exercise 17.
Passo 1
Beleza pessoal, sei que vocês estão prontos e dispostos para mais uma resolução, então vamos nessa!!!
- se escrevermos X e T(x) como vetores coluna, podemos inspecionar para determinar a matriz padrão de T, visualizando o cálculo do vetor linha de cada
- de a) temos uma matriz padrão
então, a matriz padrão A desta transformação T é
As colunas da matriz A não são múltiplas, então elas são linearmente independentes.
O Teorema 12 diz que uma transformação linear T é injetora se e somente se as colunas de uma matriz de A são linearmente independentes.
Então, a transformação linear
É injetora.
Passo 2
aplicamos uma redução de linha de uma matriz padrão A:
A matriz A não tem posição de pivô em todas as linhas, então pelo Teorema 4 as colunas de A não abrangem R. Portanto, a transformação linear T não é em R, pelo Teorema 12.
O Teorema 4 diz que a matriz A tem uma posição de 4 pivôs se e somente se a coluna da matriz A.
O Teorema 12 diz que uma transformação linear está em se e somente se uma coluna da matriz de A pertence .
Resposta
- é injetora
- não pertence ao