In Exercises 25–28, determine if the specified linear transformation is (a) one-to-one and (b) onto. Justify each answer.

The transformation in Exercise 14.

Passo 1

Beleza pessoal, espero que todos estejam bem e super dispostos a aprender um pouco de Álgebra Linear hoje. Vamos nessa!!!

  1. Teorema 12: Seja T: R -> R uma transformação linear, e seja A a matriz padrão para T. Então:

    1. T mapeia R n em R m se e somente se as colunas de A vão R m
    2. T é injetora se e somente se as colunas de A são linearmente independentes

    A matriz padrão A da transformação T do Exercício 14 tem colunas linearmente independentes, pois a figura desse exercício mostra que a 1 e a 2 não são múltiplos. Então T é injetável, b Teorema 12.

    Passo 2

  2. A deve ter um pivô em cada coluna porque a equação Ax = 0 não tem variáveis livres. Assim, a forma escalonada de A é

p * 0 P

Como A tem um pivô em cada linha, as colunas de A abrangem R 2 . Então T mapeia R 2 para R 2 .

Resposta

  1. Injetora.
  2. Sobrejetora.