In Exercises 25–28, determine if the specified linear transformation is (a) one-to-one and (b) onto. Justify each answer.
The transformation in Exercise 14.
Passo 1
Beleza pessoal, espero que todos estejam bem e super dispostos a aprender um pouco de Álgebra Linear hoje. Vamos nessa!!!
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Teorema 12: Seja T: R -> R uma transformação linear, e seja A a matriz padrão para T. Então:
- T mapeia em se e somente se as colunas de A vão
- T é injetora se e somente se as colunas de A são linearmente independentes
A matriz padrão A da transformação T do Exercício 14 tem colunas linearmente independentes, pois a figura desse exercício mostra que e não são múltiplos. Então T é injetável, b Teorema 12.
Passo 2
- A deve ter um pivô em cada coluna porque a equação Ax = 0 não tem variáveis livres. Assim, a forma escalonada de A é
Como A tem um pivô em cada linha, as colunas de A abrangem . Então T mapeia para .
Resposta
- Injetora.
- Sobrejetora.