In Exercises 29 and 30, describe the possible echelon forms of the standard matrix for a linear transformation T . Use the notation of Example 1 in Section 1.2.

T: R 4 → R 3 is onto.

Passo 1

Beleza pessoal, espero que todos estejam prontos e dispostos a resolver mais uma questão de Álgebra Linear.

Nos é dado

T :   R 3   →   R 4   é   s o b r e j e t o r a

Nosso objetivo

Descreva as possíveis formas escalonadas da matriz padrão para uma transformação linear T

Passo 2

Da transformação dada, sabemos que o tamanho da matriz padrão A é 3 x 4. Como as possíveis formas escalonadas de A devem ser neste caso, devemos criar todas as formas possíveis A de modo que suas colunas se estendam por R m . (Lembre-se do Teorema 4). As colunas de A abrangerão R m se A tiver uma posição de pivô em cada linha. Sabendo disso, as possíveis formas escalonadas da matriz padrão são

A 1 = ∎ * * * 0 ∎ * * 0 0 ∎ * ,

A 2 = 0 ∎ * * 0 0 ∎ * 0 0 0 ∎ ,

A 3 = ∎ * * * 0 ∎ * * 0 0 0 ∎ ,

A 4 = ∎ * * * 0 0 ∎ * 0 0 0 ∎

Resposta

As matrizes possíveis são

A 1 = ∎ * * * 0 ∎ * * 0 0 ∎ * , A 2 = 0 ∎ * * 0 0 ∎ * 0 0 0 ∎ , A 3 = ∎ * * * 0 ∎ * * 0 0 0 ∎ ,   A 4 = ∎ * * * 0 0 ∎ * 0 0 0 ∎