[M] In Exercises 37–40, let T be the linear transformation whose standard matrix is given. In Exercises 37 and 38, decide if T is a one-to-one mapping. In Exercises 39 and 40, decide if T maps R 5 onto R 5 . Justify your answers.

Passo 1

Beleza pessoal, todos prontos para estudar mais um pouco hoje? Espero que sim, hoje iremos resolver mais uma questão de Álgebra Linear, então subam a bordo e vamos nessa!!

A nossa matriz é a

- 5 10 - 5 4 8 3 - 4 7 4 - 9 5 - 3 - 3 - 2 5 4

Passo 2

Iremos agora realizar algumas operações com as linhas das matrizes.

- 5 10 - 5 4 0 19 - 12 67 / 5 4 - 1 1 1 / 5 0 - 8 8 8 / 5 R 2   =   R 2   +   8 5 R 1 ,     R 3 =   R 3   +   4 5 R 1 ,     R 4 = R 4   -   3 5 R 1

- 5 10 - 5 4 0 19 - 12 67 / 5 0 0 7 / 19 86 / 95 0 0 56 / 19 688 / 95 R 3   =   R 3   +   1 19 R 2 ,     R 4 =   R 4   +   8 19 R 2

- 5 10 - 5 4 0 19 - 12 67 / 5 0 0 7 / 19 86 / 95 0 0 0 0   R 4 = R 4   -   8 R 3

Passo 3

- 5 10 0 114 / 7 0 19 0 1501 / 35 0 0 7 / 19 86 / 95 0 0 0 0   R 1 = R 1   +   228 / 7 R 3 ,   R 2 = R 2   +   95 / 7 R 3

- 5 0 0 - 44 / 7 0 19 0 1501 / 35 0 0 7 / 19 86 / 95 0 0 0 0   R 1 = R 1   -   10 / 19 R 3

1 0 0 44 / 35 0 1 0 79 / 35 0 0 1 86 / 95 0 0 0 0 S i m p l i f i c a n d o   a   m a t r i z

1 0 0 1.2571 0 1 0 2.2571 0 0 1 2.4571 0 0 0 0

Não há pivô na quarta coluna da matriz padrão A, então a equação Ax = 0 tem uma solução não trivial. Pelo Teorema 11, a transformação T não é injetora.

Resposta

A transformação T não é injetora.