[M] In Exercises 37–40, let T be the linear transformation whose standard matrix is given. In Exercises 37 and 38, decide if T is a one-to-one mapping. In Exercises 39 and 40, decide if T maps R 5 onto R 5 . Justify your answers.

Passo 1

Beleza pessoal, todos prontos para estudar mais um pouco hoje? Espero que sim, hoje iremos resolver mais uma questão de Álgebra Linear, então subam a bordo e vamos nessa!!

Nossa Matriz é a seguinte

7 5 4 - 9 10 6 16 - 4 12 8 12 7 - 8 - 6 - 2 5

Passo 2

7 5 4 - 9 0 - 8 / 7 72 / 7 62 / 7 0 - 4 / 7 36 / 7 157 / 7 0 - 2 / 7 18 / 7 - 37 / 7 L 2 = L 2 - 10 / 7 L 1 , L 3 = L 3 - 12 / 7 L 1 , R 4 = R 4 + 8 / 7 R 1

7 5 4 - 9 0 - 8 / 7 72 / 7 62 / 7 0 0 0 18 0 0 0 - 15 / 2 L 3 = L 3 - 1 / 2 L 2 , L 4 = L 4 - 1 / 4 L 2

7 5 4 - 9 0 - 8 / 7 72 / 7 62 / 7 0 0 0 18 0 0 0 0 L 3 = L 3 - 1 / 2 L 2 , L 4 = L 4 - 1 / 4 L 2

Passo 3

7 5 4 0 0 - 8 / 7 72 / 7 0 0 0 0 18 0 0 0 0 L 1 = L 1 - 3 1 / 63 L 3 , L 2 = L 2 + 1 / 4 L 3

7 0 4 9 0 0 - 8 / 7 72 / 7 0 0 0 0 18 0 0 0 0 L 1 = L 1 + 35 / 8 L 3

Tirando fatores comuns das linhas

Como não há pivô na terceira coluna da matriz padrão A, a equação Ax = 0 tem uma solução não trivial. Pelo Teorema 11, a transformação T não é injetora.

1 0 7 0 0 1 - 9 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Resposta

Pelo Teorema 11, a transformação T não é injetora.