[M] In Exercises 37–40, let T be the linear transformation whose standard matrix is given. In Exercises 37 and 38, decide if T is a one-to-one mapping. In Exercises 39 and 40, decide if T maps R 5 onto R 5 . Justify your answers.

Passo 1

Beleza pessoal, todos prontos para estudar mais um pouco hoje? Espero que sim, hoje iremos resolver mais uma questão de Álgebra Linear, então subam a bordo e vamos nessa!!

A matriz dada é a seguinte

9 13 5 6 - 1 14 15 - 7 - 6 4 - 8 - 9 12 - 5 - 9 - 5 - 6 - 8 9 8 13 14 15 2 11

Vamos para operações com as linhas!

Passo 2

L 2 = L 2 - ( L 21 / L 11 ) ∙ L 1

  L 3 = L 3 - ( L 31 / L 11 ) ∙ L 1  

L 4 = L 4 - ( L 41 / L 11 ) ∙ L 1

L 5 = L 5 - ( L 51 / L 11 ) ∙ L 1

9 13 5 6 - 1 14 15 - 7 - 6 4 - 8 - 9 12 - 5 - 9 - 5 - 6 - 8 9 8 13 14 15 2 11

L 3 = L 3 - ( L 32 / L 22 ) ∙ L 2

  L 4 = L 4 - ( L 42 / L 22 ) ∙ L 2  

L 5 = L 5 - ( L 4 2 / L 22 ) ∙ L 2

9 13 5 6 - 1 0 - 47 / 9 - 133 / 9 - 4 6 / 3 50 / 9 0 0 433 / 47 - 337 / 47 - 337 / 47 0 0 - 40 8 / 47 411 / 47 411 / 47 0 0 1001 / 47 346 / 47 346 / 47

Passo 3

  L 4 = L 4 - ( L 4 3 / L 33 ) ∙ L 3  

L 5 = L 5 - ( L 53 / L 33 ) ∙ L 3

9 13 5 6 - 1 0 - 47 / 9 - 133 / 9 - 46 / 3 50 / 9 0 0 433 / 47 - 337 / 47 - 337 / 47 0 0 0 173 / 8 7 173 / 87 0 0 0 3 83 / 16 3 83 / 16

L 5 = L 5 - ( L 5 4 / L 44 ) ∙ L 3

9 13 5 6 - 1 0 - 47 / 9 - 133 / 9 - 46 / 3 50 / 9 0 0 433 / 47 - 337 / 47 - 337 / 47 0 0 0 173 / 87 173 / 87 0 0 0 0 0

Pera que ainda não acabamos,

L 1 = L 1 - ( L 14 / L 44 ) ∙ L 4

  L 2 = L 2 - ( L 24 / L 44 ) ∙ L 4  

L 3 = L 3 - ( L 34 / L 44 ) ∙ L 4

9 13 5 0 - 7 0 - 47 / 9 - 133 / 9 0 188 / 9 0 0 433 / 47 0 0 0 0 0 173 / 87 173 / 87 0 0 0 0 0

L 1 = L 1 - ( L 14 / L 44 ) ∙ L 4

  L 2 = L 2 - ( L 24 / L 44 ) ∙ L 4  

9 13 5 0 - 7 0 - 47 / 9 - 133 / 9 0 188 / 9 0 0 433 / 47 0 0 0 0 0 173 / 87 173 / 87 0 0 0 0 0

multiplique a primeira linha por 1/9, a segunda por -9/47, a terceira por 47/433 e a quarta por 87/173

9 0 0 0 45 0 - 47 / 9 0 0 188 / 9 0 0 433 / 47 0 0 0 0 0 173 / 87 173 / 87 0 0 0 0 0

Tirando os fatores comuns. Não há um pivô em cada linha, portanto, as colunas da matriz padrão não abrangem R 5 . pelo teorema 12, a transformação T não mapeia R 5 em R 5 .

1 0 0 0 5 0 1 0 0 - 4 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

Resposta

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas da matriz