Exercises 42–44 show how to use the condition number of a matrix

A to estimate the accuracy of a computed solution of Ax = b:

If the entries of A and b are accurate to about r significant digits

and if the condition number of A is approximately 10k (with k a

positive integer), then the computed solution of Ax = b should

usually be accurate to at least r - k significant digits.

42. [M] Find the condition number of the matrix A in Exercise 9.

Construct a random vector x in R 4 and compute b = Ax.

Then use your matrix program to compute the solution x 1 of Ax = b. To how many digits do x and x 1 agree? Find out

the number of digits your matrix program stores accurately,

and report how many digits of accuracy are lost when x 1 is

used in place of the exact solution x.

Passo 1

Beleza Pessoal?! Espero que todos estejam animados para resolvermos mais uma atividade de álgebra Linear. Então vamos nessa!!

Use o seguinte código MatLab para inserir a matriz A

A = 4,0 , - 7 , - 7 ; - 6,1 , 11,9 ; 7 , - 5,10,19 ; - 1,2 , 3 , - 1

o número de condição cond() = 2.3683e+084 que está entre 10^4 e 10^5. Portanto, cerca de 5 ou 6 dígitos de precisão podem ser perdidos, construa um vetor aleatório x ∈ R 4 e calcule b =Ax.

x = r a n d 4,1

b   =   A ∙ x

Nós temos que

b   =   0.8507 1.7714 8.9140 1.3348

Para encontrar A - 1

i n v A

No final, calculamos x - x 1

x - x 1 = - 5.5511 e - 16 - 4.8017 e - 13 1.7097 e - 14 2.6545 e - 13

Passo 2

Resposta

cond(A) = 2,3683e+04, que está entre 10 4 e 10 5 . x e x1 concordam com pelo menos 12 ou 13 dígitos significativos, o que significa que 5 ou 6 dígitos significativos são perdidos