In exercises 9-16, find the basis for the eigenspace corresponding to each listed eigenvalue.

13)

A = 4 0 1 - 2 1 0 - 2 0 1 ,   λ = 1,2 , 3  

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

A - λ I = 0

A - 1 I = 0

Depois:

A - 2 I = 0

E por fim:

A - 3 I = 0

E logo após acharmos os valores das coordenadas x,y,z podemos monstra o nossa base.

Passo 2

Assim:

Para λ = 1

3 0 1 - 2 0 0 - 2 0 0

Que nos dá o sistema:

x = - 1 3 z

Mas veja que x = 0 , logo x = z = 0 e também que y aparece como variável livre logo pode fazer y = 1

Desse modo temos:

v 1 = 0 1 0

Para λ = 2 :

2 0 1 - 2 - 1 0 - 2 0 - 1

Que nos dá o sistema:

x = - 1 2 z  

x = - 1 2 y

Fazendo

x = - 1 → y = 2 ,   = 2

Desse modo temos:

v 2 = 1 2 2

E finalmente para λ = 3

1 0 1 - 2 - 3 0 - 2 0 - 2

Que nos dá o sistema:

x = - z

x = - y

Façamos:

x = - 1 → z = y = 1

Desse modo ficando:

v 3 = - 1 1 1

Passo 3

Portanto formamos a base:

B v 1 , v 2 , v 3 = 0 1 - 1 1 2 1 0 2 1

Resposta

B v 1 , v 2 , v 3 = 0 1 - 1 1 2 1 0 2 1