In exercises 21 e 22, A is an n   × n matrix. Mark each statement True or False. Justify each answer.

  1. If A x = λ x for some vector x , then λ is an eigenvalue of A .
  2. A matrix A is invertible if and only if 0 is an eigenvalue of A .
  3. A number c is an eigenvalue of A if and only if the equation A - c I x = 0 has a non-trivial solution.
  4. Finding an eigenvector of A may be difficult, but checking whether a given vector is in fact an eigenvector is asy
  5. To find the eigenvalues of A, reduce A to echelon form.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

  1. Falso:
  2. Além da condição dada, A x = λ x deve ter uma solução não trivial

    Passo 2

  3. Verdadeiro:
  4. Se uma matriz A tem autovalor 0, então ela possui colunas com valores linearmente dependentes, sendo assim não invertíveis porque o determinante é nulo.

  5. Verdadeiro:
  6. Como principio para se obter uma solução para autovalores e autovectores, é necessário que A x = λ x → A - λ x = 0 tenha solução não trivial.

    Passo 3

  7. Verdadeiro:
  8. Veja que para achar um autovetor precisamos de antemão achar o autovalor correspondente, pela equação:

    A x = λ x

    Agora se queremos testar o vetor se é um autovetor, basta-nos colocá-lo no valor de x e testá-lo.

  9. Falso:

Não, não devemos escalonar a matriz A, e sim aplicar a formula:

A x = λ x    

Resposta

  1. Falso
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro
  4. Verdadeiro
  5. Falso