Enunciado

Exercs. 17-42: Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Para definirmos se uma série converge ou diverge usamos o limite abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n

Caso o resultado de L seja infinito, então a série diverge;

Porém, se encontrarmos L = c quer dizer que a série converge para c .

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = n 2 2 n - 1 - n 2 2 n + 1

Substituindo no limite:

lim n → ∞ ⁡ n 2 2 n - 1 - n 2 2 n + 1

lim n → ∞ ⁡ n 2 2 n + 1 - n 2 ( 2 n - 1 ) 2 n + 1 ( 2 n - 1 )

lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 4 n 2 - 1

A técnica que vamos usar para encontrar este limite, é dividir todos os termos pelo denominador de maior potência.

lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 / n 2 4 n 2 / n 2 - 1 / n 2

lim n → ∞ ⁡ 2 4 - 1 / n 2

O termo que ainda está sendo dividido por n podemos zerar.

lim n → ∞ ⁡ 1 2

L = 1 2

Sendo assim, a série converge para L = 1 / 2 .

Resposta

A série converge. L = 1 / 2 .