Enunciado

Exercs. 17-42: Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Para definirmos se uma série converge ou diverge usamos o limite abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n

Caso o resultado de L seja infinito, então a série diverge;

Porém, se encontrarmos L = c quer dizer que a série converge para c .

Passo 2

No exemplo temos a seguinte função.

- 1 n n 3 3 - n

Então, a n é:

a n = n 3 3 - n

Substituindo no limite:

lim n → ∞ ⁡ n 3 3 - n

lim n → ∞ ⁡ n 3 3 n

Na sequência vamos aplicar a regra de L’Hopital 3 vezes seguidas.

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 3 n ln ⁡ 3

lim n → ∞ ⁡ 6 n 3 n ln 2 ⁡ 3

lim n → ∞ ⁡ 6 3 n ln 3 ⁡ 3

Removendo as constantes.

6 ln 3 ⁡ 3 lim n → ∞ ⁡ 1 3 n

Quando o denominador tende ao infinito, o numerador tende a zero.

L = 6 ln 3 ⁡ 3 0

L = 0

Sendo assim, a série converge para L = 0 .

Resposta

A série converge. L = 0 .