Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da razão, irei detalhar ele abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = n 3 2 n 5 n - 1

Então, temos o seguinte.

a n + 1 a n = n + 1 3 2 ( n + 1 ) 5 n .   5 n - 1 n 3 2 n

Simplificando.

a n + 1 a n = n + 1 3 2 5 - 1 n

Colocando no limite.

lim n → ∞ ⁡ 9 ( n + 1 ) 5 n

9 5 lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) n

Colocando n em evidência no numerador.

9 5 lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n n

9 5 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n

Como n tende ao infinito, o segundo termo é zerado.

9 5 lim n → ∞ ⁡ 1

L = 9 5

Então, como L > 1 a série diverge.

Resposta

A série diverge.