Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da razão, irei detalhar ele abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = 99 n ( n 5 + 2 ) n 2 10 2 n

Então, temos o seguinte.

a n + 1 a n = 99 n + 1 ( ( n + 1 ) 5 + 2 ) ( n + 1 ) 2 10 2 ( n + 1 ) .   n 2 10 2 n 99 n ( n 5 + 2 )

Simplificando.

a n + 1 a n = 99 n 2 n + 1 5 + 2 10 2 n + 1 2 ( n 5 + 2 )

Colocando no limite.

lim n → ∞ ⁡ 99 n 2 n + 1 5 + 2 10 2 n + 1 2 ( n 5 + 2 )

99 100 lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 5 + 2 n + 1 2 ( n 5 + 2 )

Aplicando a seguinte propriedade algébrica nos termos a + b = a 1 + b a , encontramos:

99 100 lim n → ∞ ⁡ n 3 1 n + 1 3 2 n + 1 5 + 1 n 3 2 n 5 + 1

99 100 lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 3 2 n + 1 5 + 1 2 n 5 + 1

Como n tende ao infinito, os números que estão sendo divididos por ele são zerados.

99 100 lim n → ∞ ⁡ 1 1

L = 99 100

Então, como L < 1 a série converge.

Resposta

A série converge.