Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da divergência, a explicação está abaixo:

Para definirmos se a série é divergente, vamos calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n

Se o limite der um resultado diferente de 0 , a série é divergente. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = n   t a n 1 n

Colocando no limite.

lim n → ∞ ⁡ n   t a n 1 n

lim n → ∞ ⁡ n   s e n 1 n cos ⁡ 1 n

Quando n tende ao infinito, o argumento do cosseno tende a 0 , então:

lim n → ∞ ⁡ n   s e n 1 n

lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n

Aplicando a regra de L’Hopital.

lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 c o s 1 n - 1 n 2

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 n

L = 1

Então, como L ≠ 0 a série diverge.

Resposta

A série diverge.