Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da comparação e o da razão, irei detalhar eles abaixo:

O teste da comparação:

Nós vamos encontrar uma série b n que para todo valor de n , a n ≤ b n .

Então, vamos ver se b n converge, se convergir quer dizer que a n também converge.

Teste da razão:

L = lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = ln ⁡ n 1,01 n

E podemos usar a seguinte função como b n .

b n = n 1,01 n

Agora vamos usar o teste da razão para ver se b n converge.

b n + 1 b n = n + 1 1,01 n + 1 . 1,01 n n

b n + 1 b n = n + 1 1,01 n

Colocando no limite.

1 1,01 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n

1 1,01 lim n → ∞ ⁡ n ( 1 + 1 / n ) n

1 1,01 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n

L = 1 1,01

Então, como L < 1 a série converge.

Resposta

A série converge.