Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da razão, irei detalhar ele abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = 2 n ! 2 n

Então, temos o seguinte.

a n + 1 a n = 2 n + 2 ! 2 n + 1 .   2 n 2 n !

a n + 1 a n = 2 n + 2 ! 2 2 n !

Usando 2 n + 2 ! 2 n ! = 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) .

a n + 1 a n = 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 2

a n + 1 a n = ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Colocando no limite.

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Como n tende ao infinito, então:

L = ∞

Então, como L > 1 a série diverge.

Resposta

A série diverge.